法线方程公式
曲线在某点处的法线方程 对于函数y = f ( x ) y = f(x)y=f(x)在点( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0)(x0,y0)处 首先求该点处切线的斜率k 切 k_{切}k切，函数y = f ( x ) y = f(x)y=f(x)在x = x 0 x = x_0x=x0处的导数f ′ ( x 0 ) f^\prime(x_0)f′(x0)就是切线的斜率，即k 切 = f ′ ( x 0 ) k_{切}=f^\prime(x_0)k切=f′(x0)。
因为法线与切线垂直，两条垂直直线斜率之积为− 1 - 1−1，所以法线的斜率k 法 = − 1 f ′ ( x 0 ) k_{法}=-\frac{1}{f^\prime(x_0)}k法=−f′(x0)1（前提是f ′ ( x 0 ) ≠ 0 f^\prime(x_0)\neq0f′(x0)=0 ）。
已知法线过点( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0)(x0,y0)，且斜率为k 法 k_{法}k法，根据点斜式直线方程y − y 1 = k ( x − x 1 ) y - y_1 = k(x - x_1)y−y1=k(x−x1)（这里( x 1 , y 1 ) = ( x 0 , y 0 ) (x_1,y_1)=(x_0,y_0)(x1,y1)=(x0,y0) ，k = k 法 k = k_{法}k=k法），可得法线方程为y − y 0 = − 1 f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) y - y_0 = -\frac{1}{f^\prime(x_0)}(x - x_0)y−y0=−f′(x0)1(x−x0)。
对于由方程F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0F(x,y)=0确定的隐函数在点( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0)(x0,y0)处 先通过隐函数求导求出d y d x \frac{dy}{dx}dxdy在( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0)(x0,y0)处的值k 切 k_{切}k切。
对F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0F(x,y)=0两边同时对x xx求导，利用复合函数求导法则得到F x + F y d y d x = 0 F_x + F_y\frac{dy}{dx}=0Fx+Fydxdy=0，则d y d x = − F x F y \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}dxdy=−FyFx（F y ≠ 0 F_y\neq0Fy=0 ），那么在点( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0)(x0,y0)处切线斜率k 切 = − F x ( x 0 , y 0 ) F y ( x 0 , y 0 ) k_{切}=-\frac{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}k切=−Fy(x0,y0)Fx(x0,y0)。
法线斜率k 法 = F y ( x 0 , y 0 ) F x ( x 0 , y 0 ) k_{法}=\frac{F_y(x_0,y_0)}{F_x(x_0,y_0)}k法=Fx(x0,y0)Fy(x0,y0)（F x ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 F_x(x_0,y_0)\neq0Fx(x0,y0)=0 ），法线方程为y − y 0 = F y ( x 0 , y 0 ) F x ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) y - y_0=\frac{F_y(x_0,y_0)}{F_x(x_0,y_0)}(x - x_0)y−y0=Fx(x0,y0)Fy(x0,y0)(x−x0)。
曲面在某点处的法线方程 对于曲面z = f ( x , y ) z = f(x,y)z=f(x,y)在点P ( x 0 , y 0 , z 0 ) P(x_0,y_0,z_0)P(x0,y0,z0)（其中z 0 = f ( x 0 , y 0 ) z_0 = f(x_0,y_0)z0=f(x0,y0)）处 首先求偏导数，f x ( x 0 , y 0 ) f_x(x_0,y_0)fx(x0,y0)和f y ( x 0 , y 0 ) f_y(x_0,y_0)fy(x0,y0)。
曲面在该点处的法向量n ⃗ = ( − f x ( x 0 , y 0 ) , − f y ( x 0 , y 0 ) , 1 ) \vec{n}=( - f_x(x_0,y_0), - f_y(x_0,y_0),1)n=(−fx(x0,y0),−fy(x0,y0),1)。
则曲面在点P ( x 0 , y 0 , z 0 ) P(x_0,y_0,z_0)P(x0,y0,z0)处的法线方程为x − x 0 − f x ( x 0 , y 0 ) = y − y 0 − f y ( x 0 , y 0 ) = z − z 0 1 \frac{x - x_0}{-f_x(x_0,y_0)}=\frac{y - y_0}{-f_y(x_0,y_0)}=\frac{z - z_0}{1}−fx(x0,y0)x−x0=−fy(x0,y0)y−y0=1z−z0。
对于由方程F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0确定的曲面在点P ( x 0 , y 0 , z 0 ) P(x_0,y_0,z_0)P(x0,y0,z0)处 先求偏导数F x ( x 0 , y 0 , z 0 ) F_x(x_0,y_0,z_0)Fx(x0,y0,z0)，F y ( x 0 , y 0 , z 0 ) F_y(x_0,y_0,z_0)Fy(x0,y0,z0)，F z ( x 0 , y 0 , z 0 ) F_z(x_0,y_0,z_0)Fz(x0,y0,z0)。
曲面在该点处的法向量n ⃗ = ( F x ( x 0 , y 0 , z 0 ) , F y ( x 0 , y 0 , z 0 ) , F z ( x 0 , y 0 , z 0 ) ) \vec{n}=(F_x(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0),F_z(x_0,y_0,z_0))n=(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))。
那么法线方程为x − x 0 F x ( x 0 , y 0 , z 0 ) = y − y 0 F y ( x 0 , y 0 , z 0 ) = z − z 0 F z ( x 0 , y 0 , z 0 ) \frac{x - x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y - y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z - z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}Fx(x0,y0,z0)x−x0=Fy(x0,y0,z0)y−y0=Fz(x0,y0,z0)z−z0。
