设矩阵A = ( a i j ) A=(a_{ij})A=(aij​)是一个 m × p m\times pm×p 的矩阵，矩阵B = ( b i j ) B=(b_{ij})B=(bij​)是一个 p × n p\times np×n 的矩阵，那么矩阵 A AA 与矩阵 B BB 的乘积 C = A B C = ABC=AB 是一个 m × n m\times nm×n 的矩阵，其中 C CC 的第 i ii 行第 j jj 列元素 c i j c_{ij}cij​ 为： c i j = ∑ k = 1 p a i k b k j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ⋯ + a i p b p j c_{ij} = \sum_{k = 1}^{p} a_{ik}b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ip}b_{pj}cij​=∑k=1p​aik​bkj​=ai1​b1j​+ai2​b2j​+⋯+aip​bpj​ 其中 i = 1 , 2 , ⋯   , m i = 1, 2, \cdots, mi=1,2,⋯,m；j = 1 , 2 , ⋯   , n j = 1, 2, \cdots, nj=1,2,⋯,n。

也就是说，计算矩阵 C CC 中第 i ii 行第 j jj 列的元素时，需要将矩阵 A AA 的第 i ii 行元素与矩阵 B BB 的第 j jj 列对应元素相乘，然后将这些乘积相加 。

例如，假设有矩阵 A = ( 1 2 3 4 ) A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}A=(13​24​)（这是一个 2 × 2 2\times22×2 的矩阵），矩阵 B = ( 5 6 7 8 ) B = \begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}B=(57​68​)（同样是 2 × 2 2\times22×2 的矩阵）。

计算 A B ABAB 时： c 11 c_{11}c11​（结果矩阵第一行第一列元素）： A AA 的第一行元素为 1 , 2 1, 21,2，B BB 的第一列元素为 5 , 7 5, 75,7。

c 11 = 1 × 5 + 2 × 7 = 5 + 14 = 19 c_{11}=1\times5 + 2\times7 = 5 + 14 = 19c11​=1×5+2×7=5+14=19。

c 12 c_{12}c12​（结果矩阵第一行第二列元素）： A AA 的第一行元素为 1 , 2 1, 21,2，B BB 的第二列元素为 6 , 8 6, 86,8。

c 12 = 1 × 6 + 2 × 8 = 6 + 16 = 22 c_{12}=1\times6 + 2\times8 = 6 + 16 = 22c12​=1×6+2×8=6+16=22。

c 21 c_{21}c21​（结果矩阵第二行第一列元素）： A AA 的第二行元素为 3 , 4 3, 43,4，B BB 的第一列元素为 5 , 7 5, 75,7。

c 21 = 3 × 5 + 4 × 7 = 15 + 28 = 43 c_{21}=3\times5 + 4\times7 = 15 + 28 = 43c21​=3×5+4×7=15+28=43。

c 22 c_{22}c22​（结果矩阵第二行第二列元素）： A AA 的第二行元素为 3 , 4 3, 43,4，B BB 的第二列元素为 6 , 8 6, 86,8。

c 22 = 3 × 6 + 4 × 8 = 18 + 32 = 50 c_{22}=3\times6 + 4\times8 = 18 + 32 = 50c22​=3×6+4×8=18+32=50。

所以 A B = ( 19 22 43 50 ) AB=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}AB=(1943​2250​) 。