t检验公式
t检验（t - test）是用于比较两组数据均值差异是否显著的一种统计方法，常用的t检验类型有单样本t检验、独立样本t检验和配对样本t检验，它们的计算公式有所不同： 单样本t检验 单样本t检验是检验一组数据的均值与一个已知的总体均值之间是否存在显著差异。
t = X ˉ − μ 0 s / n t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}t=s/nXˉ−μ0 其中： X ˉ \bar{X} Xˉ 是样本均值； μ 0 \mu_0 μ0 是已知的总体均值； s s s 是样本标准差； n n n 是样本量。
自由度 d f = n − 1 df = n - 1 df=n−1 独立样本t检验 独立样本t检验用于比较两个独立样本的均值是否有显著差异。
在方差齐性和方差不齐性时公式有所不同： 方差齐性（σ 1 2 = σ 2 2 \sigma_1^2 = \sigma_2^2 σ12=σ22）： t = ( X ˉ 1 − X ˉ 2 ) − ( μ 1 − μ 2 ) s p 1 n 1 + 1 n 2 t = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}t=spn11+n21(Xˉ1−Xˉ2)−(μ1−μ2) 其中： X ˉ 1 \bar{X}_1 Xˉ1 和 X ˉ 2 \bar{X}_2 Xˉ2 分别是两个样本的均值； μ 1 \mu_1 μ1 和 μ 2 \mu_2 μ2 分别是两个总体的均值（通常假设 μ 1 − μ 2 = 0 \mu_1 - \mu_2 = 0 μ1−μ2=0，即检验两总体均值是否相等）； s p s_p sp 是合并标准差，计算公式为 s p = ( n 1 − 1 ) s 1 2 + ( n 2 − 1 ) s 2 2 n 1 + n 2 − 2 s_p = \sqrt{\frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}} sp=n1+n2−2(n1−1)s12+(n2−1)s22，其中 s 1 2 s_1^2 s12 和 s 2 2 s_2^2 s22 分别是两个样本的方差， n 1 n_1 n1 和 n 2 n_2 n2 分别是两个样本的样本量。
自由度 d f = n 1 + n 2 − 2 df = n_1 + n_2 - 2 df=n1+n2−2 方差不齐性（σ 1 2 ≠ σ 2 2 \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2 σ12=σ22）： t = ( X ˉ 1 − X ˉ 2 ) − ( μ 1 − μ 2 ) s 1 2 n 1 + s 2 2 n 2 t = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}t=n1s12+n2s22(Xˉ1−Xˉ2)−(μ1−μ2) 自由度采用校正自由度，计算公式为： d f = ( s 1 2 n 1 + s 2 2 n 2 ) 2 ( s 1 2 / n 1 ) 2 n 1 − 1 + ( s 2 2 / n 2 ) 2 n 2 − 1 df = \frac{(\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2})^2}{\frac{(s_1^2 / n_1)^2}{n_1 - 1} + \frac{(s_2^2 / n_2)^2}{n_2 - 1}}df=n1−1(s12/n1)2+n2−1(s22/n2)2(n1s12+n2s22)2 配对样本t检验 配对样本t检验用于比较配对设计的两组数据的均值差异。
t = d ˉ s d / n t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}t=sd/ndˉ 其中： d ˉ \bar{d} dˉ 是每对数据差值的均值； s d s_d sd 是差值的标准差； n n n 是配对样本的对数。
自由度 d f = n − 1 df = n - 1 df=n−1 通过计算得到t值后，可以根据给定的显著性水平（如 α = 0.05 \alpha = 0.05 α=0.05）和相应的自由度，查t分布表来确定临界值，进而判断是否拒绝原假设，得出两组数据均值差异是否显著的结论。
