正四面体体积公式
正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等。
推导正四面体体积公式有多种方法，下面为你介绍常见的两种： 利用三棱锥体积通用公式推导 三棱锥体积通用公式为V = 1 3 S h V = \frac{1}{3}ShV=31Sh（S SS是底面积，h hh是高）。
对于正四面体，设其棱长为a aa。
求底面积： 正四面体底面是正三角形，根据正三角形面积公式S = 3 4 a 2 S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2S=43a2（其中a aa为正三角形边长），所以正四面体底面积S = 3 4 a 2 S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2S=43a2。
求高： 先求底面正三角形的高h 1 h_1h1，根据勾股定理可得h 1 = a 2 − ( a 2 ) 2 = 3 2 a h_1 = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}ah1=a2−(2a)2=23a，那么底面正三角形中心到底面顶点的距离r = 2 3 h 1 = 2 3 × 3 2 a = 3 3 a r = \frac{2}{3}h_1 = \frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{3}ar=32h1=32×23a=33a。
再求正四面体的高h hh，正四面体的高、侧棱与底面中心到底面顶点的连线构成直角三角形，根据勾股定理h = a 2 − ( 3 3 a ) 2 = 6 3 a h = \sqrt{a^2 - (\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2} = \frac{\sqrt{6}}{3}ah=a2−(33a)2=36a。
得出体积公式： 将底面积S = 3 4 a 2 S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2S=43a2和高h = 6 3 a h = \frac{\sqrt{6}}{3}ah=36a代入三棱锥体积公式V = 1 3 S h V = \frac{1}{3}ShV=31Sh，可得正四面体体积V = 1 3 × 3 4 a 2 × 6 3 a = 2 12 a 3 V = \frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}a^2×\frac{\sqrt{6}}{3}a = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3V=31×43a2×36a=122a3。
补形法推导 把正四面体补成一个正方体，设正四面体棱长为a aa。
确定正方体棱长与正四面体棱长的关系： 可以发现正方体面对角线长度等于正四面体的棱长a aa。
设正方体棱长为x xx，根据正方体面对角线长度公式2 x = a \sqrt{2}x = a2x=a，则x = 2 2 a x = \frac{\sqrt{2}}{2}ax=22a。
求正方体体积： 根据正方体体积公式V 正方体 = x 3 V_{正方体}=x^3V正方体=x3，将x = 2 2 a x = \frac{\sqrt{2}}{2}ax=22a代入可得V 正方体 = ( 2 2 a ) 3 = 2 4 a 3 V_{正方体}=(\frac{\sqrt{2}}{2}a)^3 = \frac{\sqrt{2}}{4}a^3V正方体=(22a)3=42a3。
求正四面体体积： 观察可知正四面体体积是正方体体积减去四个相同的三棱锥体积。
每个三棱锥体积为1 6 V 正方体 \frac{1}{6}V_{正方体}61V正方体（因为三棱锥体积V = 1 3 S h V = \frac{1}{3}ShV=31Sh，这里三棱锥底面积是正方体一个面面积的一半，高与正方体棱长相等）。
那么四个三棱锥体积之和为4 × 1 6 V 正方体 = 2 3 V 正方体 4×\frac{1}{6}V_{正方体}=\frac{2}{3}V_{正方体}4×61V正方体=32V正方体。
所以正四面体体积V = V 正方体 − 2 3 V 正方体 = 1 3 V 正方体 V = V_{正方体}-\frac{2}{3}V_{正方体}=\frac{1}{3}V_{正方体}V=V正方体−32V正方体=31V正方体，把V 正方体 = 2 4 a 3 V_{正方体}= \frac{\sqrt{2}}{4}a^3V正方体=42a3代入，可得V = 1 3 × 2 4 a 3 = 2 12 a 3 V = \frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{4}a^3 = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3V=31×42a3=122a3 。
综上，若正四面体棱长为a aa，其体积公式为V = 2 12 a 3 V = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3V=122a3 。
