立方和公式是a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) a^{3}+b^{3}=(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)，以下为你介绍它常见的两种推导过程： 方法一：通过多项式乘法推导 我们从( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) (a + b)(a^{2}-ab + b^{2})(a+b)(a2−ab+b2)出发，根据多项式乘法法则，用( a + b ) (a + b)(a+b)的每一项去乘( a 2 − a b + b 2 ) (a^{2}-ab + b^{2})(a2−ab+b2)的每一项。

先用a aa乘以( a 2 − a b + b 2 ) (a^{2}-ab + b^{2})(a2−ab+b2)可得：a × ( a 2 − a b + b 2 ) = a × a 2 − a × a b + a × b 2 = a 3 − a 2 b + a b 2 a\times(a^{2}-ab + b^{2}) = a\times a^{2}-a\times ab + a\times b^{2}=a^{3}-a^{2}b + ab^{2}a×(a2−ab+b2)=a×a2−a×ab+a×b2=a3−a2b+ab2。

再用b bb乘以( a 2 − a b + b 2 ) (a^{2}-ab + b^{2})(a2−ab+b2)可得：b × ( a 2 − a b + b 2 ) = b × a 2 − b × a b + b × b 2 = a 2 b − a b 2 + b 3 b\times(a^{2}-ab + b^{2}) = b\times a^{2}-b\times ab + b\times b^{2}=a^{2}b - ab^{2}+b^{3}b×(a2−ab+b2)=b×a2−b×ab+b×b2=a2b−ab2+b3。

将上述两个结果相加： ( a 3 − a 2 b + a b 2 ) + ( a 2 b − a b 2 + b 3 ) (a^{3}-a^{2}b + ab^{2})+(a^{2}b - ab^{2}+b^{3})(a3−a2b+ab2)+(a2b−ab2+b3) 对式子进行化简，− a 2 b -a^{2}b−a2b与a 2 b a^{2}ba2b相互抵消，a b 2 ab^{2}ab2与− a b 2 -ab^{2}−ab2相互抵消，最终得到a 3 + b 3 a^{3}+b^{3}a3+b3 。

所以( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) = a 3 + b 3 (a + b)(a^{2}-ab + b^{2}) = a^{3}+b^{3}(a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3，即立方和公式得证。

方法二：利用几何图形推导 假设有一个边长为a + b a + ba+b的大正方体，其体积为( a + b ) 3 (a + b)^{3}(a+b)3。

把这个大正方体分割成几个部分： 一个边长为a aa的正方体，其体积为a 3 a^{3}a3。

一个边长为b bb的正方体，其体积为b 3 b^{3}b3。

还有三个长方体： 第一个长方体的长、宽、高分别为a aa、a aa、b bb，体积为a 2 b a^{2}ba2b。

第二个长方体的长、宽、高分别为a aa、b bb、b bb，体积为a b 2 ab^{2}ab2。

第三个长方体的长、宽、高分别为b bb、a aa、b bb，体积为a b 2 ab^{2}ab2。

那么大正方体的体积( a + b ) 3 (a + b)^{3}(a+b)3就等于这几个部分体积之和，即： ( a + b ) 3 = a 3 + b 3 + a 2 b + a b 2 + a b 2 (a + b)^{3}=a^{3}+b^{3}+a^{2}b + ab^{2}+ab^{2}(a+b)3=a3+b3+a2b+ab2+ab2 进一步整理可得( a + b ) 3 = a 3 + b 3 + ( a 2 b + 2 a b 2 ) (a + b)^{3}=a^{3}+b^{3}+ (a^{2}b + 2ab^{2})(a+b)3=a3+b3+(a2b+2ab2) 又因为( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 (a + b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3}(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，移项可得a 3 + b 3 = ( a + b ) 3 − ( 3 a 2 b + 3 a b 2 ) a^{3}+b^{3}=(a + b)^{3}- (3a^{2}b + 3ab^{2})a3+b3=(a+b)3−(3a2b+3ab2) 提取公因式3 a b 3ab3ab后得到a 3 + b 3 = ( a + b ) 3 − 3 a b ( a + b ) a^{3}+b^{3}=(a + b)^{3}- 3ab(a + b)a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b) 再提取公因式( a + b ) (a + b)(a+b)，a 3 + b 3 = ( a + b ) [ ( a + b ) 2 − 3 a b ] a^{3}+b^{3}=(a + b)[(a + b)^{2}- 3ab]a3+b3=(a+b)[(a+b)2−3ab] 展开( a + b ) 2 (a + b)^{2}(a+b)2得a 2 + 2 a b + b 2 a^{2}+2ab + b^{2}a2+2ab+b2 ，则( a + b ) 2 − 3 a b = a 2 + 2 a b + b 2 − 3 a b = a 2 − a b + b 2 (a + b)^{2}- 3ab = a^{2}+2ab + b^{2}- 3ab = a^{2}-ab + b^{2}(a+b)2−3ab=a2+2ab+b2−3ab=a2−ab+b2 所以a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) a^{3}+b^{3}=(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2) 。