cos ⁡ 2 x \cos^{2}xcos2x有两个常用公式： 降幂公式：cos ⁡ 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 \cos^{2}x = \frac{1 + \cos2x}{2}cos2x=21+cos2x​。

推导过程如下： 根据二倍角公式cos ⁡ 2 x = cos ⁡ 2 x − sin ⁡ 2 x \cos2x=\cos^{2}x - \sin^{2}xcos2x=cos2x−sin2x，又因为sin ⁡ 2 x = 1 − cos ⁡ 2 x \sin^{2}x = 1 - \cos^{2}xsin2x=1−cos2x。

将sin ⁡ 2 x = 1 − cos ⁡ 2 x \sin^{2}x = 1 - \cos^{2}xsin2x=1−cos2x代入cos ⁡ 2 x = cos ⁡ 2 x − sin ⁡ 2 x \cos2x=\cos^{2}x - \sin^{2}xcos2x=cos2x−sin2x可得：cos ⁡ 2 x = cos ⁡ 2 x − ( 1 − cos ⁡ 2 x ) \cos2x = \cos^{2}x-(1 - \cos^{2}x)cos2x=cos2x−(1−cos2x)。

对cos ⁡ 2 x = cos ⁡ 2 x − ( 1 − cos ⁡ 2 x ) \cos2x = \cos^{2}x-(1 - \cos^{2}x)cos2x=cos2x−(1−cos2x)进行化简： cos ⁡ 2 x = cos ⁡ 2 x − 1 + cos ⁡ 2 x = 2 cos ⁡ 2 x − 1 \cos2x = \cos^{2}x - 1 + \cos^{2}x = 2\cos^{2}x - 1cos2x=cos2x−1+cos2x=2cos2x−1。

通过移项可得2 cos ⁡ 2 x = cos ⁡ 2 x + 1 2\cos^{2}x=\cos2x + 12cos2x=cos2x+1，两边同时除以2 22，即cos ⁡ 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 \cos^{2}x=\frac{1+\cos2x}{2}cos2x=21+cos2x​。

与sin ⁡ 2 x \sin^{2}xsin2x的关系公式：cos ⁡ 2 x = 1 − sin ⁡ 2 x \cos^{2}x = 1 - \sin^{2}xcos2x=1−sin2x。

这是根据三角函数的基本关系sin ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 x = 1 \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1sin2x+cos2x=1，移项得到cos ⁡ 2 x = 1 − sin ⁡ 2 x \cos^{2}x = 1 - \sin^{2}xcos2x=1−sin2x 。