在不同的数学情境和编程语言中，求最小值的方式和公式有所不同： 数学领域 一组有限数集合求最小值 对于给定的一组数 a 1 , a 2 , ⋯   , a n a_1,a_2,\cdots,a_na1​,a2​,⋯,an​，可以通过比较的方式来确定最小值。

如果用函数 m i n minmin 表示求最小值操作，那么 m i n { a 1 , a 2 , ⋯   , a n } min\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}min{a1​,a2​,⋯,an​} 就代表这组数中的最小值。

例如对于集合 { 3 , 5 , 1 , 7 } \{3, 5, 1, 7\}{3,5,1,7}，m i n { 3 , 5 , 1 , 7 } = 1 min\{3, 5, 1, 7\} = 1min{3,5,1,7}=1。

二次函数求最小值 对于二次函数 y = a x 2 + b x + c y = ax^{2}+bx + cy=ax2+bx+c（a ≠ 0 a\neq0a=0），其图象是一条抛物线。

当 a > 0 a>0a>0 时，抛物线开口向上，函数有最小值。

其最小值公式为 y m i n = 4 a c − b 2 4 a y_{min}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}ymin​=4a4ac−b2​，此时 x = − b 2 a x =-\frac{b}{2a}x=−2ab​ 就是取得最小值时自变量的值。

例如对于二次函数 y = 2 x 2 − 4 x + 3 y = 2x^{2}- 4x + 3y=2x2−4x+3，其中 a = 2 a = 2a=2，b = − 4 b = - 4b=−4，c = 3 c = 3c=3。

首先计算 x = − b 2 a = − − 4 2 × 2 = 1 x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\times2}=1x=−2ab​=−2×2−4​=1，再将其代入最小值公式 y m i n = 4 × 2 × 3 − ( − 4 ) 2 4 × 2 = 24 − 16 8 = 1 y_{min}=\frac{4\times2\times3 - (-4)^{2}}{4\times2}=\frac{24 - 16}{8}=1ymin​=4×24×2×3−(−4)2​=824−16​=1。

利用导数求函数最小值 对于一个在区间 I II 上可导的函数 y = f ( x ) y = f(x)y=f(x)： 第一步，求函数的导数 f ′ ( x ) f^\prime(x)f′(x)； 第二步，令 f ′ ( x ) = 0 f^\prime(x)=0f′(x)=0，求出方程的根（这些根称为驻点）； 第三步，判断驻点以及区间端点处的函数值大小。

比较这些值，其中最小的就是函数在该区间上的最小值。

例如，对于函数 y = x 3 − 3 x y = x^{3}-3xy=x3−3x 在区间 [ − 2 , 2 ] [-2,2][−2,2] 上，先求导 y ′ = 3 x 2 − 3 y^\prime = 3x^{2}-3y′=3x2−3，令 y ′ = 0 y^\prime = 0y′=0，即 3 x 2 − 3 = 0 3x^{2}-3 = 03x2−3=0，解得 x = ± 1 x=\pm1x=±1。

分别计算函数在驻点和区间端点的值： f ( − 2 ) = ( − 2 ) 3 − 3 × ( − 2 ) = − 8 + 6 = − 2 f(-2)=(-2)^{3}-3\times(-2)= - 8 + 6=-2f(−2)=(−2)3−3×(−2)=−8+6=−2； f ( − 1 ) = ( − 1 ) 3 − 3 × ( − 1 ) = − 1 + 3 = 2 f(-1)=(-1)^{3}-3\times(-1)= - 1 + 3 = 2f(−1)=(−1)3−3×(−1)=−1+3=2； f ( 1 ) = 1 3 − 3 × 1 = 1 − 3 = − 2 f(1)=1^{3}-3\times1 = 1 - 3=-2f(1)=13−3×1=1−3=−2； f ( 2 ) = 2 3 − 3 × 2 = 8 − 6 = 2 f(2)=2^{3}-3\times2 = 8 - 6 = 2f(2)=23−3×2=8−6=2。

比较可得函数在区间 [ − 2 , 2 ] [-2,2][−2,2] 上的最小值是 − 2 -2−2。

常见编程语言和软件中的最小值函数 Python语言 使用内置函数 min() 可以求多个数值或者可迭代对象（如列表、元组）中的最小值。

python复制代码 # 求多个数值的最小值 result1 = min(3, 5, 1, 7) print(result1) # 求列表中的最小值 my_list = [10, 5, 8, 2] result2 = min(my_list) print(result2) Excel软件 使用 MIN 函数来求一组数据的最小值。

例如，若要在A1:A10单元格区域中求最小值，在其他单元格中输入公式 =MIN(A1:A10) 即可。