模长公式在不同的数学情境下有不同形式，以下是一些常见的情况： 向量模长公式 平面向量 对于平面直角坐标系中的向量a ⃗ = ( x , y ) \vec{a}=(x,y)a=(x,y)，其模长（也称为向量的长度）∣ a ⃗ ∣ \vert\vec{a}\vert∣a∣的计算公式为：∣ a ⃗ ∣ = x 2 + y 2 \vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}∣a∣=x2+y2​。

例如，若向量a ⃗ = ( 3 , 4 ) \vec{a}=(3,4)a=(3,4)，则∣ a ⃗ ∣ = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 \vert\vec{a}\vert = \sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5∣a∣=32+42​=9+16​=25​=5。

空间向量 对于空间直角坐标系中的向量a ⃗ = ( x , y , z ) \vec{a}=(x,y,z)a=(x,y,z) ，其模长∣ a ⃗ ∣ \vert\vec{a}\vert∣a∣的计算公式为：∣ a ⃗ ∣ = x 2 + y 2 + z 2 \vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}∣a∣=x2+y2+z2​。

比如向量a ⃗ = ( 1 , 2 , − 2 ) \vec{a}=(1,2, - 2)a=(1,2,−2)，那么∣ a ⃗ ∣ = 1 2 + 2 2 + ( − 2 ) 2 = 1 + 4 + 4 = 9 = 3 \vert\vec{a}\vert=\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{1 + 4 + 4}=\sqrt{9}=3∣a∣=12+22+(−2)2​=1+4+4​=9​=3。

复数模长公式 对于复数 z = a + b i z = a + biz=a+bi（a , b ∈ R a,b\in Ra,b∈R，i ii为虚数单位），它的模∣ z ∣ \vert z\vert∣z∣定义为复数在复平面内对应的点到原点的距离，计算公式为∣ z ∣ = a 2 + b 2 \vert z\vert=\sqrt{a^{2}+b^{2}}∣z∣=a2+b2​。

例如复数z = 3 − 4 i z = 3 - 4iz=3−4i，则∣ z ∣ = 3 2 + ( − 4 ) 2 = 9 + 16 = 5 \vert z\vert=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9 + 16}=5∣z∣=32+(−4)2​=9+16​=5 。