实验背景与条件 在匀变速直线运动实验中，我们通过打点计时器打出纸带，纸带上记录了一系列点，相邻两点间的时间间隔 T TT 是相等的。

设物体做匀变速直线运动，在连续相等的时间间隔 T TT 内的位移分别为 x 1 x_1x1​，x 2 x_2x2​，x 3 x_3x3​，⋯ \cdots⋯ ，x n x_nxn​ 。

根据匀变速直线运动的位移公式 x = v 0 t + 1 2 a t 2 x = v_0t+\frac{1}{2}at^{2}x=v0​t+21​at2，对于第一个时间间隔 T TT ，位移 x 1 = v 0 T + 1 2 a T 2 x_1 = v_0T+\frac{1}{2}aT^{2}x1​=v0​T+21​aT2 。

对于前两个时间间隔 2 T 2T2T ，位移 x 1 + x 2 = v 0 ( 2 T ) + 1 2 a ( 2 T ) 2 = 2 v 0 T + 2 a T 2 x_1 + x_2=v_0(2T)+\frac{1}{2}a(2T)^{2}=2v_0T + 2aT^{2}x1​+x2​=v0​(2T)+21​a(2T)2=2v0​T+2aT2 。

对于前三个时间间隔 3 T 3T3T ，位移 x 1 + x 2 + x 3 = v 0 ( 3 T ) + 1 2 a ( 3 T ) 2 = 3 v 0 T + 9 2 a T 2 x_1 + x_2+x_3=v_0(3T)+\frac{1}{2}a(3T)^{2}=3v_0T+\frac{9}{2}aT^{2}x1​+x2​+x3​=v0​(3T)+21​a(3T)2=3v0​T+29​aT2 。

推导过程 首先求相邻相等时间间隔内的位移差： x 2 − x 1 = ( v 0 ( 2 T ) + 1 2 a ( 2 T ) 2 ) − ( v 0 T + 1 2 a T 2 ) − ( v 0 T + 1 2 a T 2 ) = a T 2 x_2 - x_1=(v_0(2T)+\frac{1}{2}a(2T)^{2})-(v_0T+\frac{1}{2}aT^{2})-(v_0T+\frac{1}{2}aT^{2}) = aT^{2}x2​−x1​=(v0​(2T)+21​a(2T)2)−(v0​T+21​aT2)−(v0​T+21​aT2)=aT2 。

x 3 − x 2 = ( v 0 ( 3 T ) + 1 2 a ( 3 T ) 2 ) − ( v 0 ( 2 T ) + 1 2 a ( 2 T ) 2 ) − ( v 0 ( 2 T ) + 1 2 a ( 2 T ) 2 ) = a T 2 x_3 - x_2=(v_0(3T)+\frac{1}{2}a(3T)^{2})-(v_0(2T)+\frac{1}{2}a(2T)^{2})-(v_0(2T)+\frac{1}{2}a(2T)^{2}) = aT^{2}x3​−x2​=(v0​(3T)+21​a(3T)2)−(v0​(2T)+21​a(2T)2)−(v0​(2T)+21​a(2T)2)=aT2 。

依此类推，可以得到 Δ x = x n + 1 − x n = a T 2 \Delta x=x_{n + 1}-x_{n}=aT^{2}Δx=xn+1​−xn​=aT2 ，即任意相邻相等时间间隔内的位移差是一个常量 a T 2 aT^{2}aT2 。

当有 n nn 段位移时，为了更充分利用数据减小误差，采用逐差法。

把数据分成两大组，若有 6 66 段位移 x 1 x_1x1​，x 2 x_2x2​，x 3 x_3x3​，x 4 x_4x4​，x 5 x_5x5​，x 6 x_6x6​ 。

第一组 x 1 x_1x1​，x 2 x_2x2​，x 3 x_3x3​ ；第二组 x 4 x_4x4​，x 5 x_5x5​，x 6 x_6x6​ 。

用第二组的每一段位移减去第一组对应的位移： x 4 − x 1 = ( x 1 + 3 a T 2 ) − x 1 = 3 a T 2 x_4 - x_1=(x_1 + 3aT^{2})-x_1 = 3aT^{2}x4​−x1​=(x1​+3aT2)−x1​=3aT2 （因为 x 2 − x 1 = a T 2 x_2 - x_1=aT^{2}x2​−x1​=aT2，x 3 − x 2 = a T 2 x_3 - x_2=aT^{2}x3​−x2​=aT2，x 4 − x 3 = a T 2 x_4 - x_3=aT^{2}x4​−x3​=aT2，所以 x 4 − x 1 = 3 a T 2 x_4 - x_1 = 3aT^{2}x4​−x1​=3aT2 ）。

x 5 − x 2 = ( x 2 + 3 a T 2 ) − x 2 = 3 a T 2 x_5 - x_2=(x_2 + 3aT^{2})-x_2 = 3aT^{2}x5​−x2​=(x2​+3aT2)−x2​=3aT2 。

x 6 − x 3 = ( x 3 + 3 a T 2 ) − x 3 = 3 a T 2 x_6 - x_3=(x_3 + 3aT^{2})-x_3 = 3aT^{2}x6​−x3​=(x3​+3aT2)−x3​=3aT2 。

然后求这三个差值的平均值 Δ x ‾ = ( x 4 − x 1 ) + ( x 5 − x 2 ) + ( x 6 − x 3 ) 3 \overline{\Delta x}=\frac{(x_4 - x_1)+(x_5 - x_2)+(x_6 - x_3)}{3}Δx=3(x4​−x1​)+(x5​−x2​)+(x6​−x3​)​ 。

由于 x 4 − x 1 = 3 a T 2 x_4 - x_1 = 3aT^{2}x4​−x1​=3aT2，x 5 − x 2 = 3 a T 2 x_5 - x_2 = 3aT^{2}x5​−x2​=3aT2，x 6 − x 3 = 3 a T 2 x_6 - x_3 = 3aT^{2}x6​−x3​=3aT2 ，所以 Δ x ‾ = 3 a T 2 \overline{\Delta x}=3aT^{2}Δx=3aT2 。

那么加速度 a = ( x 4 + x 5 + x 6 ) − ( x 1 + x 2 + x 3 ) 9 T 2 a=\frac{(x_4 + x_5 + x_6)-(x_1 + x_2 + x_3)}{9T^{2}}a=9T2(x4​+x5​+x6​)−(x1​+x2​+x3​)​ 。

推广到一般情况，如果有 2 n 2n2n 段位移 x 1 x_1x1​，x 2 x_2x2​，⋯ \cdots⋯ ，x 2 n x_{2n}x2n​ ，将其分成两组，第一组 x 1 x_1x1​，x 2 x_2x2​，⋯ \cdots⋯ ，x n x_nxn​ ；第二组 x n + 1 x_{n + 1}xn+1​，x n + 2 x_{n + 2}xn+2​，⋯ \cdots⋯ ，x 2 n x_{2n}x2n​ 。

加速度 a = ( x n + 1 + x n + 2 + ⋯ + x 2 n ) − ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n ) n 2 T 2 a=\frac{(x_{n + 1}+x_{n + 2}+\cdots+x_{2n})-(x_1 + x_2+\cdots+x_n)}{n^{2}T^{2}}a=n2T2(xn+1​+xn+2​+⋯+x2n​)−(x1​+x2​+⋯+xn​)​ 。

综上所述，逐差法求加速度的公式 a = ( x n + 1 + x n + 2 + ⋯ + x 2 n ) − ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n ) n 2 T 2 a=\frac{(x_{n + 1}+x_{n + 2}+\cdots+x_{2n})-(x_1 + x_2+\cdots+x_n)}{n^{2}T^{2}}a=n2T2(xn+1​+xn+2​+⋯+x2n​)−(x1​+x2​+⋯+xn​)​ 推导完成，这种方法能有效利用所有测量数据，减小实验误差。