函数的一致连续和连续是两个相关但又有明显区别的概念，主要体现在以下几个方面： 定义角度 连续：设函数 y = f ( x ) y = f(x)y=f(x) 在点 x 0 x_0x0​ 的某一邻域内有定义，如果 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)limx→x0​​f(x)=f(x0​)，那么就称函数 f ( x ) f(x)f(x) 在点 x 0 x_0x0​ 连续 。

即对于任意给定的正数 ε \varepsilonε，总存在正数 δ \deltaδ，使得当 ∣ x − x 0 ∣ < δ |x - x_0| < \delta∣x−x0​∣<δ 时，有 ∣ f ( x ) − f ( x 0 ) ∣ < ε |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon∣f(x)−f(x0​)∣<ε。

这里的 δ \deltaδ 不仅依赖于 ε \varepsilonε，还与 x 0 x_0x0​ 有关。

也就是说，对于不同的 x 0 x_0x0​，即使给定相同的 ε \varepsilonε，所找到的 δ \deltaδ 可能是不一样的。

一致连续：设函数 f ( x ) f(x)f(x) 在区间 I II 上有定义，如果对于任意给定的正数 ε \varepsilonε，总存在一个只依赖于 ε \varepsilonε 的正数 δ \deltaδ，使得对于区间 I II 上的任意两点 x 1 x_1x1​、x 2 x_2x2​，当 ∣ x 1 − x 2 ∣ < δ |x_1 - x_2| < \delta∣x1​−x2​∣<δ 时，都有 ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ < ε |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon∣f(x1​)−f(x2​)∣<ε，则称函数 f ( x ) f(x)f(x) 在区间 I II 上一致连续。

这里强调 δ \deltaδ 只与 ε \varepsilonε 有关，而与区间 I II 内的点的位置无关。

几何直观 连续：函数在某点连续意味着函数图像在该点处没有间断，是“连在一起”的。

从局部来看，当自变量在该点附近做微小变化时，函数值的变化也很微小。

但是在整个定义域内，不同点附近函数值随自变量变化的“敏感度”可能不同。

例如函数 y = 1 x y=\frac{1}{x}y=x1​ 在其定义域 ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) (-\infty,0)\cup(0,+\infty)(−∞,0)∪(0,+∞) 内每一点都连续，但是在靠近 x = 0 x = 0x=0 处，自变量很小的变化可能导致函数值有很大的变化；而在离 x = 0 x = 0x=0 较远的地方，自变量同样大小的变化引起函数值的变化相对较小。

一致连续：函数在区间上一致连续表示函数图像在整个区间上的变化是“均匀”的。

无论在区间的哪个位置，只要自变量的变化量足够小（小于 δ \deltaδ），函数值的变化量就会小于给定的 ε \varepsilonε。

例如，线性函数 y = k x + b y = kx + by=kx+b（k ≠ 0 k\neq0k=0）在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty)(−∞,+∞) 上是一致连续的，其函数图像是一条直线，斜率固定，函数值随自变量的变化是均匀的。

区间性质 连续：如果函数在开区间 ( a , b ) (a,b)(a,b) 内每一点都连续，就说函数在开区间 ( a , b ) (a,b)(a,b) 内连续；若函数在闭区间 [ a , b ] [a,b][a,b] 端点处单侧极限等于函数值，则函数在闭区间 [ a , b ] [a,b][a,b] 上连续。

函数在某个区间上连续并不能保证在该区间上一致连续。

例如 f ( x ) = 1 x f(x)=\frac{1}{x}f(x)=x1​ 在 ( 0 , 1 ) (0,1)(0,1) 上连续，但不一致连续。

一致连续：若函数在闭区间 [ a , b ] [a,b][a,b] 上连续，则函数在 [ a , b ] [a,b][a,b] 上一定一致连续（这是康托定理）。

然而对于开区间，函数连续不一定一致连续，但如果函数在开区间 ( a , b ) (a,b)(a,b) 上连续且在端点 a aa 和 b bb 处的单侧极限存在，则函数在 ( a , b ) (a,b)(a,b) 上一致连续。

例如 f ( x ) = x 2 f(x)=x^2f(x)=x2 在 ( 0 , 1 ) (0,1)(0,1) 上连续且端点处极限存在，所以在 ( 0 , 1 ) (0,1)(0,1) 上一致连续。

函数性质 连续函数：连续函数具有局部有界性、局部保号性等性质。

即在某点连续的函数在该点的某个邻域内有界并且保持函数值的正负号（在一定条件下）。

但这些性质都是局部的，对于整个定义域来说，函数的变化情况可能比较复杂。

一致连续函数：一致连续函数在区间上的变化相对稳定，具有更强的整体性。

例如，若 f ( x ) f(x)f(x) 在区间 I II 上一致连续，{ x n } \{x_n\}{xn​} 是 I II 上的柯西序列，则 { f ( x n ) } \{f(x_n)\}{f(xn​)} 也是柯西序列。