圆台的体积计算

设台体（棱台、圆台等）的上底面面积为$S_1$，下底面面积为$S_2$，高为$h$，其体积计算公式为：

$V=\frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2})$

​)

下面以圆台为例，说明该公式的推导过程（棱台的推导原理类似，主要基于相似三角形和棱锥体积公式）：

设圆台上底面半径为$r_1$，下底面半径为$r_2$，高为$h$。

我们可以将圆台补成一个大圆锥，设大圆锥的高为$H$，小圆锥（圆台补成大圆锥后，去掉圆台部分剩下的圆锥）的高为$H - h$。

根据相似三角形的性质，可得$\frac{r_1}{r_2}=\frac{H - h}{H}$，由此可解出$H$的值。

大圆锥体积$V_大=\frac{1}{3}\pi r_2^2H$

小圆锥体积$V_小=\frac{1}{3}\pi r_1^2 (H - h)$

圆台体积$V = V_大 - V_小$

经过一系列化简（将$H$用$r_1$、$r_2$、$h$表示并代入$V = V_大 - V_小$进行运算），最终可得到圆台体积公式：

$V=\frac{1}{3}\pi h(r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2)$

这里$\pi r_1^2$就是上底面面积$S_1$，$\pi r_2^2$就是下底面面积$S_2$，也就等同于前面给出的通用台体体积公式$V=\frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2})$

​) 。

例如，有一个圆台，上底面半径$r_1 = 2$，下底面半径$r_2 = 4$，高$h = 3$。

首先计算上底面面积$S_1=\pi r_1^2 = 4\pi$，下底面面积$S_2=\pi r_2^2 = 16\pi$。

然后根据体积公式$V=\frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2})$

​)

$=\frac{1}{3}×3×(4\pi + 16\pi + \sqrt{4\pi×16\pi})$

​)

$=(4\pi + 16\pi + 8\pi)$

$=28\pi$ 。