二次函数求根公式

对于一元二次函数$y = ax^2 + bx + c$（$a\neq0$），令$y = 0$，就得到一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$ ，其求根公式为：

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

​​

其中，$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。$b^2 - 4ac$被称为判别式，用符号$\Delta$表示，即$\Delta = b^2 - 4ac$ 。判别式的值可以用来判断方程根的情况：

当$\Delta \gt 0$时，方程有两个不相等的实数根；

当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根，此时求根公式可写成$x = -\frac{b}{2a}$；

当$\Delta \lt 0$时，方程没有实数根，但在复数范围内有两个共轭复数根。

这个求根公式是通过配方法推导出来的，具体推导过程如下：

对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），首先将方程两边同时除以$a$，得到$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$。

然后进行配方，在等式左边加上一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，同时在等式右边减去$(\frac{b}{2a})^2$，可得：

$$\begin{align*} x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2&= (\frac{b}{2a})^2 - \frac{c}{a}\\ (x + \frac{b}{2a})^2&= \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}\\ (x + \frac{b}{2a})^2&= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \end{align*}$$

接下来对等式两边同时开平方：

$x + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

​=±2ab2−4ac

​​

最后移项可得求根公式：

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

​​