求完全立方公式

完全立方公式包括完全立方和公式与完全立方差公式：

完全立方和公式：$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$。

推导过程：

$(a + b)^3=(a + b)(a + b)^2$

先计算$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

再将$(a + b)$与$(a^2 + 2ab + b^2)$相乘：

$(a + b)(a^2 + 2ab + b^2)=a\times(a^2 + 2ab + b^2)+b\times(a^2 + 2ab + b^2)$

$=a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$

合并同类项后得到$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

完全立方差公式：$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$。

推导过程：

$(a - b)^3=(a - b)(a - b)^2$

先算$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

然后$(a - b)$与$(a^2 - 2ab + b^2)$相乘：

$(a - b)(a^2 - 2ab + b^2)=a\times(a^2 - 2ab + b^2)-b\times(a^2 - 2ab + b^2)$

$=a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3$

合并同类项后得出$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

这两个公式在整式运算、因式分解等数学领域有着广泛应用。