离心率等公式

离心率是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，不同圆锥曲线的离心率公式及相关性质如下：

椭圆

定义：平面内与两个定点$F_1,F_2$的距离之和等于常数（大于$|F_1F_2|$）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离$|F_1F_2| = 2c$（$c\gt0$）叫做焦距。设椭圆上任意一点$P$，$|PF_1| + |PF_2| = 2a$（$a\gt c\gt0$）。

离心率公式：$e=\frac{c}{a}$，且$0\lt e\lt1$。离心率$e$越接近$0$，椭圆越接近于圆；离心率$e$越接近$1$，椭圆越扁。

相关关系：在椭圆中有$b^2 = a^2 - c^2$，其中$a$为长半轴长，$b$为短半轴长 。

双曲线

定义：平面内与两个定点$F_1,F_2$的距离之差的绝对值等于常数（小于$|F_1F_2|$且大于$0$）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点$F_1,F_2$叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离$|F_1F_2| = 2c$（$c\gt0$）叫做焦距。设双曲线上任意一点$P$，$||PF_1|-|PF_2|| = 2a$（$a\gt0$）。

离心率公式：$e = \frac{c}{a}$，且$e\gt1$。离心率$e$越大，双曲线的开口越开阔。

相关关系：在双曲线中有$c^2 = a^2 + b^2$，其中$a$为实半轴长，$b$为虚半轴长。渐近线方程为：

焦点在$x$轴上时，渐近线方程是$y=\pm\frac{b}{a}x$；

焦点在$y$轴上时，渐近线方程是$y = \pm\frac{a}{b}x$。

抛物线

定义：平面内与一定点$F$和一条定直线$l$（$F\notin l$）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点$F$叫做抛物线的焦点，直线$l$叫做抛物线的准线。

离心率公式：$e = 1$。对于抛物线$y^2 = 2px(p\gt0)$，焦点坐标是$(\frac{p}{2},0)$，准线方程是$x = -\frac{p}{2}$ 。不同形式的抛物线（如$y^2 = -2px$，$x^2 = 2py$，$x^2 = -2py$ ）其焦点坐标和准线方程会相应变化，但离心率始终为$1$。