二项式定理公式是什么样的?

二项式定理的基本公式：

对于$(a + b)^n$（$n\in N^*$），有$(a + b)^n = C_{n}^{0}a^{n}b^{0}+C_{n}^{1}a^{n - 1}b^{1}+C_{n}^{2}a^{n - 2}b^{2}+\cdots + C_{n}^{r}a^{n - r}b^{r}+\cdots + C_{n}^{n}a^{0}b^{n}$。

其中$C_{n}^{r}=\frac{n!}{r!(n - r)!}$，叫做二项式系数，$C_{n}^{r}a^{n - r}b^{r}$是展开式的第$r + 1$项，又称为通项，用$T_{r + 1}$表示，即$T_{r + 1}=C_{n}^{r}a^{n - r}b^{r}$ 。

公式说明：

项数：展开式共有$n + 1$项。

指数规律：

$a$的次数从$n$开始依次递减，每次减$1$，直到$0$；$b$的次数从$0$开始依次递增，每次增$1$，直到$n$。

每一项中$a$与$b$的次数之和都等于$n$。

二项式系数性质：

对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即$C_{n}^{r}=C_{n}^{n - r}$。

增减性与最大值：当$r\lt\frac{n + 1}{2}$时，二项式系数$C_{n}^{r}$是逐渐增大的；当$r\gt\frac{n + 1}{2}$时，二项式系数$C_{n}^{r}$是逐渐减小的。

当$n$为偶数时，中间一项（第$\frac{n}{2}+1$项）的二项式系数最大；当$n$为奇数时，中间两项（第$\frac{n + 1}{2}$项和第$\frac{n + 1}{2}+1$项）的二项式系数相等且最大。

所有二项式系数的和为$2^{n}$，即$C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+\cdots + C_{n}^{n}=2^{n}$。

奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，都等于$2^{n - 1}$，即$C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+\cdots = C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}+\cdots = 2^{n - 1}$ 。

例如，当$n = 3$时，$(a + b)^3 = C_{3}^{0}a^{3}b^{0}+C_{3}^{1}a^{2}b^{1}+C_{3}^{2}a^{1}b^{2}+C_{3}^{3}a^{0}b^{3}=a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3}$ 。