两直线间距离公式

两直线间的距离公式根据两直线的位置关系分为以下两种情况：

两条平行直线间的距离公式

对于两条平行直线 $l_1: Ax + By + C_1 = 0$ 和 $l_2: Ax + By + C_2 = 0$（$A$、$B$ 不同时为 $0$），它们之间的距离 $d$ 为：
$d = \frac{\vert C_1 - C_2 \vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

​∣C1​−C2​∣​

推导过程：
在直线 $l_1$ 上任取一点 $P(x_0, y_0)$，则 $Ax_0 + By_0 + C_1 = 0$，即 $Ax_0 + By_0 = - C_1$。
点 $P(x_0, y_0)$ 到直线 $l_2$ 的距离就是两平行直线间的距离。
根据点$(x_0,y_0)$到直线 $Ax + By + D = 0$（这里 $D = C_2$）的距离公式 $d = \frac{\vert Ax_0 + By_0 + D \vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

​∣Ax0​+By0​+D∣​，把 $Ax_0 + By_0 = - C_1$ 和 $D = C_2$ 代入可得：
$d = \frac{\vert - C_1 + C_2 \vert}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{\vert C_1 - C_2 \vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

​∣−C1​+C2​∣​=A2+B2

​∣C1​−C2​∣​

两条异面直线间的距离公式（空间直角坐标系中）

设两条异面直线 $l_1$ 和 $l_2$ 的方向向量分别为 $\vec{v_1}$

​、$\vec{v_2}$

​，经过 $l_1$ 上一点 $A$，$l_2$ 上一点 $B$，则异面直线 $l_1$ 与 $l_2$ 之间的距离 $d$ 为：
$d = \frac{\vert (\overrightarrow{AB} \times \vec{v_1}) \cdot \vec{v_2} \vert}{\vert \vec{v_1} \times \vec{v_2} \vert}$

​×v2​

​∣∣(AB

×v1​

​)⋅v2​

​∣​

其中 $\times$ 表示向量叉乘，$\cdot$ 表示向量点乘。这个公式相对复杂，涉及较多向量运算知识。其原理是利用向量间的几何关系，通过向量运算得到异面直线间的垂直距离。