伯努利不等式

伯努利不等式是数学中的一个经典不等式，有多种形式，常见的形式如下：

一般形式

设 $x \geq - 1$，$n\in N^+$（正整数集），则有 $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ 。当且仅当 $n = 1$ 或 $x = 0$ 时等号成立。

推广形式

对于实数 $r \leq0$ 或 $r \geq 1$，当 $x > - 1$ 时，有 $(1 + x)^r \geq 1 + rx$；对于 $0 < r < 1$，当 $x > - 1$ 时，有 $(1 + x)^r \leq 1 + rx$。

证明（以常见的正整数 $n$ 的情况为例，采用数学归纳法）

当 $n = 1$ 时：

左边 $=(1 + x)^1 = 1 + x$，右边 $=1 + 1\times x = 1 + x$，此时不等式 $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ 等号成立。

假设当 $n = k$（$k\in N^+$）时不等式成立：

即 $(1 + x)^k \geq 1 + kx$ 成立。

当 $n = k + 1$ 时：

$(1 + x)^{k + 1}=(1 + x)^k(1 + x)$。

因为 $(1 + x)^k \geq 1 + kx$（由假设），且 $x \geq - 1$，所以 $(1 + x)^k(1 + x)\geq (1 + kx)(1 + x)$。

展开 $(1 + kx)(1 + x)=1 + x + kx + kx^2 = 1+(k + 1)x + kx^2$。

由于 $kx^2\geq0$（$k\in N^+$，$x^2\geq0$），所以 $1+(k + 1)x + kx^2\geq 1+(k + 1)x$。

即 $(1 + x)^{k + 1}\geq 1+(k + 1)x$，所以当 $n = k + 1$ 时不等式也成立 。

伯努利不等式在分析学、概率论等众多数学领域以及工程技术等实际问题中都有广泛应用，它可以用于证明其他不等式、估计数值范围等。