椭圆的方程式是什么?

椭圆的标准方程有两种情况，取决于椭圆的焦点位置：

焦点在$x$轴上

当椭圆的焦点在$x$轴上时，其标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt b\gt0$）。

其中$a$表示椭圆长半轴的长度，$b$表示椭圆短半轴的长度。

焦点坐标为$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，且满足$c^{2}=a^{2}-b^{2}$，$c$为半焦距，它反映了椭圆的扁平程度与焦点位置的关系。

焦点在$y$轴上

当椭圆的焦点在$y$轴上时，标准方程是$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt b\gt0$）。

这里同样$a$是长半轴长，$b$是短半轴长。

焦点坐标变为$F_1(0, - c)$，$F_2(0,c)$ ，也满足$c^{2}=a^{2}-b^{2}$。

除了标准方程外，椭圆还有参数方程。以焦点在$x$轴上的椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt b\gt0$）为例，其参数方程为$\begin{cases}x = a\cos\theta\\y = b\sin\theta\end{cases}$（$\theta$为参数），参数$\theta$具有明确的几何意义，它表示以原点为圆心，$a$为半径所作圆上一点与原点连线的夹角。