奇函数有什么性质

奇函数是指对于一个定义域关于原点对称的函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)= - f(x)$，那么函数$f(x)$就叫做奇函数。奇函数具有以下重要性质：

定义域性质

奇函数的定义域关于原点对称。这是奇函数的基本前提条件，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数一定不是奇函数。例如，函数$f(x)=\frac{1}{x - 1}$，其定义域为$x\neq1$，不关于原点对称，所以它不是奇函数 。

函数值性质

对于奇函数$f(x)$，有$f(-x)= - f(x)$。即在关于原点对称的点上，函数值互为相反数。例如，已知$f(x)$是奇函数，且$f(2)=3$，那么$f(-2)= - f(2)= - 3$。

若奇函数$f(x)$在$x = 0$处有定义，则$f(0)=0$ 。因为$f(-0)= - f(0)$，即$f(0)= - f(0)$，移项可得$2f(0)=0$，所以$f(0)=0$。比如奇函数$f(x)=x^3$，当$x = 0$时，$f(0)=0$ 。

图像性质

奇函数的图像关于原点对称。如果点$(x,y)$在奇函数$f(x)$的图像上，那么点$(-x,-y)$也一定在其图像上。例如奇函数$y = x$，其图像是过原点的一条直线，关于原点对称。

奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性。若奇函数$f(x)$在区间$[a,b]$上单调递增，那么在区间$[-b,-a]$上也单调递增；若在区间$[a,b]$上单调递减，则在区间$[-b,-a]$上同样单调递减。例如奇函数$y = x^3$，在$R$上单调递增，其在$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上都是单调递增的。

运算性质

两个奇函数的和或差是奇函数。设$f(x)$，$g(x)$都是奇函数，则$(f + g)(-x)=f(-x)+g(-x)= - f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x))$，所以$f(x)+g(x)$是奇函数；同理可证$(f - g)(x)$也是奇函数。例如$f(x)=x$，$g(x)=x^3$都是奇函数，$h(x)=f(x)+g(x)=x + x^3$，$h(-x)= - x - x^3= - h(x)$，$h(x)$是奇函数。

两个奇函数的积是偶函数。设$f(x)$，$g(x)$都是奇函数，则$(f\cdot g)(-x)=f(-x)\cdot g(-x)=[-f(x)]\cdot[-g(x)] = f(x)\cdot g(x)$，所以$f(x)\cdot g(x)$是偶函数。例如$f(x)=x$，$g(x)=x^3$，$y = f(x)\cdot g(x)=x^4$，$y(-x)=(-x)^4 = x^4 = y(x)$，$y = x^4$是偶函数。