锐角三角函数

锐角三角函数是指在直角三角形中，各锐角的三角函数关系，它反映了直角三角形中边与角之间的关系，对于解直角三角形等数学问题至关重要。以下是详细介绍：

定义

在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$ 所对的边分别为 $a$、$b$、$c$。

正弦（$\sin$）：锐角$A$ 的正弦是指$\angle A$ 的对边与斜边的比，记作$\sin A$，即 $\sin A = \frac{a}{c}$。例如，在一个直角三角形中，$\angle A$ 的对边 $a = 3$，斜边 $c = 5$，那么 $\sin A = \frac{3}{5} = 0.6$。

余弦（$\cos$）：锐角$A$ 的余弦是指$\angle A$ 的邻边与斜边的比，记作$\cos A$，即 $\cos A = \frac{b}{c}$。比如上述例子中，若邻边 $b = 4$，斜边 $c = 5$，则 $\cos A = \frac{4}{5} = 0.8$。

正切（$\tan$）：锐角$A$ 的正切是指$\angle A$ 的对边与邻边的比，记作$\tan A$，即 $\tan A = \frac{a}{b}$。仍以上述三角形为例，$\tan A = \frac{3}{4} = 0.75$。

性质

取值范围

对于锐角$A$，$0 < \sin A < 1$，$0 < \cos A < 1$，$\tan A > 0$。因为在直角三角形中，直角边小于斜边，所以正弦和余弦值在$0$到$1$之间；而正切是两条直角边的比值，对于锐角来说是正数。

当锐角$A$ 在$(0^{\circ}, 90^{\circ})$变化时，$\sin A$随角度的增大而增大，$\cos A$随角度的增大而减小，$\tan A$随角度的增大而增大。例如，$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$，$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

​​，角度从$30^{\circ}$增大到$60^{\circ}$，正弦值增大；$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

​​，$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$，角度增大，余弦值减小；$\tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

​​ ，$\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$

​，角度增大，正切值增大。

三角函数间的关系

平方关系：$\sin^{2}A + \cos^{2}A = 1$。这是根据勾股定理 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$推导而来，将 $\sin A = \frac{a}{c}$，$\cos A = \frac{b}{c}$代入可得$(\frac{a}{c})^{2} + (\frac{b}{c})^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = 1$。例如已知 $\sin A = \frac{3}{5}$，根据此关系可算出 $\cos A = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^{2}} = \frac{4}{5}$

​=54​ （因为$A$是锐角，$\cos A$取正值）。

商数关系：$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$。这是由正弦和余弦的定义直接得出，即 $\frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}} = \frac{a}{b} = \tan A$。

常见锐角三角函数值

这些常见值在解决与锐角三角函数相关的计算和证明问题时经常用到，需要牢记。