余数定理（Polynomial Remainder Theorem）是指一个多项式 f ( x ) f(x)f(x) 除以一线性多项式x − a x - ax−a的余数是 f ( a ) f(a)f(a)。

详细解释 设 f ( x ) f(x)f(x) 为一个多项式函数，当 f ( x ) f(x)f(x) 除以 ( x − a ) (x - a)(x−a) 时 （这里 a aa 为任意实数），可以表示为 f ( x ) = ( x − a ) q ( x ) + r f(x)=(x - a)q(x)+rf(x)=(x−a)q(x)+r，其中 q ( x ) q(x)q(x) 是商多项式（也是一个多项式），r rr 是余数（r rr 是一个常数，因为除数 x − a x - ax−a 是一次式）。

当 x = a x = ax=a 时，代入上式可得：f ( a ) = ( a − a ) q ( a ) + r f(a)=(a - a)q(a)+rf(a)=(a−a)q(a)+r，由于 a − a = 0 a - a = 0a−a=0，所以 f ( a ) = r f(a)=rf(a)=r。

也就是说，多项式 f ( x ) f(x)f(x) 除以 ( x − a ) (x - a)(x−a) 的余数等于 f ( a ) f(a)f(a)。

举例说明 例如，对于多项式 f ( x ) = x 2 + 3 x − 1 f(x)=x^{2}+3x - 1f(x)=x2+3x−1，当它除以 ( x − 2 ) (x - 2)(x−2) 时，根据余数定理，我们只需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 就能得到余数。

将 x = 2 x = 2x=2 代入 f ( x ) f(x)f(x) 中：f ( 2 ) = 2 2 + 3 × 2 − 1 = 4 + 6 − 1 = 9 f(2)=2^{2}+3×2 - 1 = 4 + 6 - 1 = 9f(2)=22+3×2−1=4+6−1=9，所以 f ( x ) = x 2 + 3 x − 1 f(x)=x^{2}+3x - 1f(x)=x2+3x−1 除以 ( x − 2 ) (x - 2)(x−2) 的余数是 9 99。

余数定理在多项式的除法运算、因式分解以及求解多项式方程等方面都有重要应用，它为简化多项式相关的计算和分析提供了便利 。