行列式的秩怎么计算
计算行列式的秩通常有以下几种方法： 定义法 原理：矩阵 A AA 的秩 r ( A ) r(A)r(A) 定义为矩阵 A AA 中不为零的子式的最高阶数。
一个 n nn 阶行列式就是一个 n nn 阶方阵对应的行列式。
先找出矩阵中存在的非零子式，然后确定这些非零子式的最高阶数，这个最高阶数就是矩阵的秩。
示例：对于矩阵 A = ( 1 2 3 0 1 2 0 0 0 ) A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&0\end{pmatrix}A=100210320，一阶子式（即矩阵中的元素），如 1 ≠ 0 1\neq01=0，二阶子式 ∣ 1 2 0 1 ∣ = 1 × 1 − 2 × 0 = 1 ≠ 0 \begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}=1\times1 - 2\times0 = 1\neq01021=1×1−2×0=1=0，而三阶子式就是矩阵 A AA 对应的三阶行列式 ∣ 1 2 3 0 1 2 0 0 0 ∣ = 0 \begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&0\end{vmatrix}=0100210320=0（因为三阶行列式中有一行全为 0 00）。
所以矩阵 A AA 不为零的子式的最高阶数是 2 22，则 r ( A ) = 2 r(A)=2r(A)=2。
初等变换法 原理：矩阵经初等行变换和初等列变换后，其秩不变。
我们可以通过一系列的初等变换将矩阵化为行阶梯形矩阵或行最简形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原矩阵的秩。
步骤 初等行变换规则： 交换两行（记为 r i ↔ r j r_i\leftrightarrow r_jri↔rj）。
以一个非零数 k kk 乘某一行的所有元素（记为 k r i kr_ikri）。
把某一行所有元素的 k kk 倍加到另一行的对应元素上（记为 r i + k r j r_i + kr_jri+krj）。
化为行阶梯形矩阵：通过上述初等行变换，将矩阵逐步化为行阶梯形矩阵。
行阶梯形矩阵的特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为 0 00；每个台阶只有一行；台阶数即是非零行的行数。
确定秩：数出行阶梯形矩阵中非零行的行数，即为原矩阵的秩。
示例：设矩阵 A = ( 1 2 3 4 2 4 6 8 1 3 5 7 ) A=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&4&6&8\\1&3&5&7\end{pmatrix}A=121243365487 首先进行初等行变换，r 2 − 2 r 1 r_2 - 2r_1r2−2r1，r 3 − r 1 r_3 - r_1r3−r1 得到 ( 1 2 3 4 0 0 0 0 0 1 2 3 ) \begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&0&0&0\\0&1&2&3\end{pmatrix}100201302403。
再交换 r 2 r_2r2 与 r 3 r_3r3，得到 ( 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&1&2&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}100210320430，此为行阶梯形矩阵，非零行有 2 22 行，所以 r ( A ) = 2 r(A)=2r(A)=2 。
利用矩阵的性质计算 原理：利用一些矩阵秩的基本性质来简化计算过程，例如： r ( A T ) = r ( A ) r(A^T)=r(A)r(AT)=r(A)（矩阵 A AA 的转置矩阵 A T A^TAT 的秩等于 A AA 的秩）。
若 A AA 可逆，则 r ( A B ) = r ( B ) r(AB)=r(B)r(AB)=r(B)，r ( B A ) = r ( B ) r(BA)=r(B)r(BA)=r(B)（其中 B BB 为与 A AA 可乘的矩阵）。
r ( A + B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) r(A + B)\leq r(A)+r(B)r(A+B)≤r(A)+r(B) 。
r ( A B ) ≤ min { r ( A ) , r ( B ) } r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}r(AB)≤min{r(A),r(B)} 。
示例：已知 A AA 是一个 3 × 3 3\times 33×3 的可逆矩阵，B = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) B=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}B=147258369，求 r ( A B ) r(AB)r(AB)。
因为 A AA 可逆，根据性质 r ( A B ) = r ( B ) r(AB)=r(B)r(AB)=r(B)。
对 B BB 进行初等行变换，r 2 − 4 r 1 r_2 - 4r_1r2−4r1，r 3 − 7 r 1 r_3 - 7r_1r3−7r1 得 ( 1 2 3 0 − 3 − 6 0 − 6 − 12 ) \begin{pmatrix}1&2&3\\0& - 3& - 6\\0& - 6& - 12\end{pmatrix}1002−3−63−6−12，再 r 3 − 2 r 2 r_3 - 2r_2r3−2r2 得 ( 1 2 3 0 − 3 − 6 0 0 0 ) \begin{pmatrix}1&2&3\\0& - 3& - 6\\0&0&0\end{pmatrix}1002−303−60，行阶梯形矩阵非零行有 2 22 行，所以 r ( B ) = 2 r(B)=2r(B)=2，那么 r ( A B ) = 2 r(AB)=2r(AB)=2 。
