反三角函数的导数的推导过程,急求

以下为几种常见反三角函数导数的推导过程：

反正弦函数 $y = \arcsin x$ 的导数

已知 $y = \arcsin x$，其定义域为$[-1, 1]$，值域为$\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$，它是正弦函数 $x=\sin y$ 的反函数。

对$x = \sin y$ 两边关于$y$ 求导，根据求导公式$(\sin y)^\prime=\cos y$，可得：$\frac{dx}{dy}=\cos y$。

根据反函数求导法则，如果$x = f(y)$ 在某区间内单调、可导且$f^\prime(y)\neq0$，那么它的反函数 $y = f^{-1}(x)$ 在对应区间内也可导，且有$(f^{-1}(x))^\prime=\frac{1}{f^\prime(y)}$。

由于$y\in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$，$\cos y \geq 0$，且$\cos y=\sqrt{1 - \sin^{2}y}$

​，又因为$x = \sin y$，所以$\cos y=\sqrt{1 - x^{2}}$

​。

那么$y = \arcsin x$ 的导数为：$y^\prime=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

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反余弦函数 $y=\arccos x$ 的导数

已知 $y = \arccos x$，定义域为$[-1, 1]$，值域为$[0, \pi]$，它是余弦函数 $x = \cos y$ 的反函数。

对$x=\cos y$ 两边关于$y$ 求导，根据求导公式$(\cos y)^\prime = -\sin y$，可得$\frac{dx}{dy}=-\sin y$。

由反函数求导法则，$y = \arccos x$ 的导数为：$y^\prime=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=-\frac{1}{\sin y}$

因为$y\in[0, \pi]$，$\sin y\geq0$，且$\sin y = \sqrt{1-\cos^{2}y}$

​，又因为$x = \cos y$，所以$\sin y=\sqrt{1 - x^{2}}$

​

所以$y^\prime = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

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反正切函数 $y = \arctan x$ 的导数

已知 $y=\arctan x$，定义域为$(-\infty,+\infty)$，值域为$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$，它是正切函数 $x=\tan y$ 的反函数。

对$x = \tan y$ 两边关于$y$ 求导，根据求导公式$(\tan y)^\prime=\sec^{2}y = 1+\tan^{2}y$，可得$\frac{dx}{dy}=1 + \tan^{2}y$。

由反函数求导法则，$y = \arctan x$ 的导数为：$y^\prime=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{1+\tan^{2}y}$

因为$x = \tan y$，所以$y^\prime=\frac{1}{1 + x^{2}}$

反余切函数 $y = \text{arccot}x$ 的导数

已知 $y=\text{arccot}x$，定义域为$(-\infty,+\infty)$，值域为$(0,\pi)$，它是余切函数 $x = \cot y$ 的反函数。

对$x=\cot y$ 两边关于$y$ 求导，根据求导公式$(\cot y)^\prime=-\csc^{2}y=-(1 + \cot^{2}y)$，可得$\frac{dx}{dy}=-(1+\cot^{2}y)$。

由反函数求导法则，$y = \text{arccot}x$ 的导数为：$y^\prime=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=-\frac{1}{1+\cot^{2}y}$

因为$x = \cot y$，所以$y^\prime = -\frac{1}{1 + x^{2}}$