双曲线的切线方程是什么?

对于双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt0,b\gt0$），求其切线方程有以下几种常见情况：

已知切点$(x_0,y_0)$的切线方程

若点$(x_0,y_0)$在双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$上，则过该点的切线方程为$\frac{x_0x}{a^{2}}-\frac{y_0y}{b^{2}} = 1$。推导过程如下：

对双曲线方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$两边同时对$x$求导：

根据求导公式$(X^n)^\prime = nX^{n - 1}$，可得$\frac{2x}{a^{2}}-\frac{2y\cdot y^\prime}{b^{2}} = 0$。

解关于$y^\prime$的方程，得到$y^\prime=\frac{b^{2}x}{a^{2}y}$。

那么在点$(x_0,y_0)$处的切线斜率$k = \frac{b^{2}x_0}{a^{2}y_0}$。

由点斜式方程$y - y_0 = k(x - x_0)$，可得切线方程为$y - y_0 = \frac{b^{2}x_0}{a^{2}y_0}(x - x_0)$。

等式两边同乘$a^{2}y_0$得到$a^{2}y_0(y - y_0)=b^{2}x_0(x - x_0)$。

展开式子得$a^{2}y_0y - a^{2}y_0^{2}=b^{2}x_0x - b^{2}x_0^{2}$。

因为点$(x_0,y_0)$在双曲线上，所以$\frac{x_0^{2}}{a^{2}}-\frac{y_0^{2}}{b^{2}} = 1$，即$b^{2}x_0^{2}-a^{2}y_0^{2}=a^{2}b^{2}$。

将$b^{2}x_0^{2}-a^{2}y_0^{2}=a^{2}b^{2}$代入上式，化简后得到$\frac{x_0x}{a^{2}}-\frac{y_0y}{b^{2}} = 1$。

已知斜率$k$的切线方程

设切线方程为$y = kx + m$，将其代入双曲线方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，消去$y$得到一个关于$x$的一元二次方程：

把$y = kx + m$代入$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，可得：

$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{(kx + m)^{2}}{b^{2}} = 1$。

展开并整理得$(b^{2}-a^{2}k^{2})x^{2}-2a^{2}kmx - a^{2}(m^{2}+b^{2}) = 0$。

因为直线与双曲线相切，所以此一元二次方程的判别式$\Delta = 0$：

即$(-2a^{2}km)^{2}-4(b^{2}-a^{2}k^{2})\times[-a^{2}(m^{2}+b^{2})]=0$。

化简求解$m$，得到$m = \pm\sqrt{a^{2}k^{2}-b^{2}}$

​。

则切线方程为$y = kx\pm\sqrt{a^{2}k^{2}-b^{2}}$

​ ，此切线方程成立的条件是$|k|\geq\frac{b}{a}$。