复数的三角式复数的三角形式是什么?

复数三角形式的定义：

任何一个复数 $z = a + bi$（$a,b\in R$）都可以表示成 $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ 的形式。其中，$r$ 是复数 $z$ 的模，即 $r=\vert z\vert=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

​；$\theta$ 是复数 $z$ 的辐角，满足 $\tan\theta=\frac{b}{a}$（$a\neq0$），当 $a = 0$ 时，若 $b>0$，$\theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in Z$；若 $b < 0$，$\theta=\frac{3\pi}{2}+2k\pi,k\in Z$。这种形式 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ 就叫做复数 $z$ 的三角形式 。

例如，对于复数 $z = 1 + i$，先求模 $r=\vert z\vert=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$

​=2

​。

再求辐角 $\theta$，因为 $a = 1$，$b = 1$，$\tan\theta = 1$，且点 $(1,1)$ 在第一象限，所以 $\theta=\frac{\pi}{4}+2k\pi$（$k\in Z$），通常取主值 $\theta=\frac{\pi}{4}$。

那么复数 $z = 1 + i$ 的三角形式就是 $z=\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})$

​(cos4π​+isin4π​)。

复数三角形式的运算性质（乘法、除法、乘方等）：

乘法法则：设 $z_{1}=r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})$，$z_{2}=r_{2}(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})$，则 $z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}[\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})]$。

例如，$z_{1}=2(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})$，$z_{2}=3(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})$，则 $z_{1}z_{2}=2\times3[\cos(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6})+i\sin(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6})]=6(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})$。

除法法则：$\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}[\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}-\theta_{2})]$（$z_{2}\neq0$，即 $r_{2}\neq0$）。

比如，$z_{1}=4(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})$，$z_{2}=2(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12})$，则 $\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{4}{2}[\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{12})+i\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{12})]=2(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})$。

乘方法则（棣莫弗定理）：若 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$，那么 $z^{n}=r^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)$，$n\in N$。

例如，$z = \cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}$，当 $n = 3$ 时，\(z^{3}=\cos(3\times\frac{\pi