微积分的基本公式都有哪些?微分积分.

微积分基本公式主要分为微分公式和积分公式两大部分：

微分公式

常数函数的微分：若 $y = C$（$C$为常数），则 $y^\prime = 0$，$dy = 0\cdot dx = 0$

幂函数的微分：若 $y = x^n$（$n$为实数），则 $y^\prime = nx^{n - 1}$，$dy = nx^{n - 1}dx$

指数函数的微分

若 $y = a^x$（$a > 0,a\neq1$），则 $y^\prime = a^x\ln a$，$dy = a^x\ln a dx$

特别地，当 $a = e$ 时，$y = e^x$，$y^\prime = e^x$，$dy = e^x dx$

 

对数函数的微分

若 $y=\log_a x$（$a > 0,a\neq1,x>0$），则 $y^\prime=\frac{1}{x\ln a}$ ，$dy=\frac{1}{x\ln a}dx$

当 $a = e$ 时，$y = \ln x$，$y^\prime=\frac{1}{x}$，$dy=\frac{1}{x}dx$

 

三角函数的微分

若 $y = \sin x$，则 $y^\prime=\cos x$，$dy = \cos xdx$

若 $y = \cos x$，则 $y^\prime = -\sin x$，$dy=-\sin xdx$

若 $y = \tan x$，则 $y^\prime=\sec^2 x$，$dy=\sec^2 xdx$

若 $y = \cot x$，则 $y^\prime = -\csc^2 x$，$dy = -\csc^2 xdx$

若 $y = \sec x$，则 $y^\prime=\sec x\tan x$，$dy=\sec x\tan xdx$

若 $y = \csc x$，则 $y^\prime = -\csc x\cot x$，$dy = -\csc x\cot xdx$

 

反三角函数的微分

若 $y = \arcsin x$，则 $y^\prime=\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

​1​，$dy=\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx$

​1​dx

若 $y = \arccos x$，则 $y^\prime = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

​1​，$dy = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx$

​1​dx

若 $y = \arctan x$，则 $y^\prime=\frac{1}{1 + x^2}$，$dy=\frac{1}{1 + x^2}dx$

若 $y = \text{arccot}x$，则 $y^\prime = -\frac{1}{1 + x^2}$，$dy = -\frac{1}{1 + x^2}dx$

 

函数和差积商的微分法则

和差的微分：$(u\pm v)^\prime = u^\prime\pm v^\prime$，$d(u\pm v)=du\pm dv$

积的微分：$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，$d(uv)=vdu + udv$

商的微分：$\left(\frac{u}{v}\right)^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}(v\neq0)$，$d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{vdu - udv}{v^2}(v\neq0)$

 

积分公式

 

基本积分公式

$\int kdx = kx + C$（$k$为常数）

$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C(n\neq - 1)$

$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$

$\int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C(a > 0,a\neq1)$

$\int e^x dx = e^x+C$

$\int\sin xdx = -\cos x + C$

$\int\cos xdx=\cos x + C$

$\int\sec^2 xdx=\tan x + C$

$\int\csc^2 xdx = -\cot x + C$

$\int\sec x\tan xdx=\sec x + C$

$\int\csc x\cot xdx = -\csc x + C$

$\int\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx=\arcsin x + C = -\arccos x + C_1$

​1​dx=arcsinx+C=−arccosx+C1​

$\int\frac{1}{1 + x^2}dx=\arctan x + C=-\text{arccot}x + C_1$

 

 

积分的基本性质

$\int[f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx$

$\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$（$k$为常数）

 

 

牛顿 - 莱布尼茨公式（微积分基本定理）
设函数 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的一个原函数，即 $F^\prime(x)=f(x)$，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a)$