三角函数N倍角公式

三角函数$n$倍角公式是把$\sin(n\alpha)$ 、 $\cos(n\alpha)$ 等用 $\sin\alpha$ 、 $\cos\alpha$ 来表示的一系列三角恒等式，以下是详细介绍：

正弦$n$倍角公式

$\sin(n\alpha)= 2\sin((n - 1)\alpha)\cos\alpha-\sin((n - 2)\alpha)$

余弦$n$倍角公式

$\cos(n\alpha)= 2\cos((n - 1)\alpha)\cos\alpha-\cos((n - 2)\alpha)$

正切$n$倍角公式

$\tan(n\alpha)=\frac{n\tan\alpha - C_{n}^{3}\tan^{3}\alpha + C_{n}^{5}\tan^{5}\alpha - \cdots}{1 - C_{n}^{2}\tan^{2}\alpha + C_{n}^{4}\tan^{4}\alpha - \cdots}$

其中 $C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$ 为组合数，表示从 $n$ 个不同元素中取出 $k$ 个元素的组合数。

这些公式可以通过数学归纳法等方法进行推导证明。在实际应用中，$n$ 倍角公式常用于化简三角函数表达式、求解三角方程以及在物理学、工程学等领域的相关计算 。例如在信号处理、振动分析等方面，经常会遇到将复杂的三角函数形式转化为便于分析和计算的形式，这时 $n$ 倍角公式就能发挥重要作用。