常见的裂项公式都有哪些

裂项法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。常见的裂项公式如下：

分数裂项

分母为两个连续自然数乘积

通项公式：$\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$

例如：$\frac{1}{1\times2}=1-\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2\times3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$ ；$\frac{1}{3\times4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$ 。

 

分母为两个相差固定值自然数乘积

通项公式：$\frac{1}{n(n + k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + k})$（$k$为正整数）

例如：当$k = 2$时，$\frac{1}{n(n + 2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 2})$，$\frac{1}{1\times3}=\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3})$；$\frac{1}{2\times4}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})$ 。

 

分母为三个连续自然数乘积

通项公式：$\frac{1}{n(n + 1)(n + 2)}=\frac{1}{2}[\frac{1}{n(n + 1)}-\frac{1}{(n + 1)(n + 2)}]$

例如：$\frac{1}{1\times2\times3}=\frac{1}{2}(\frac{1}{1\times2}-\frac{1}{2\times3})=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{6})$ 。

 

分母为两个连续奇数或偶数乘积

通项公式：$\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})$

例如：$\frac{1}{1\times3}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3})$；$\frac{1}{3\times5}=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$ 。

 

分母为根式形式

通项公式：$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n + 1}}=\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}$

​+n+1

​1​=n+1

​−n

​

推导过程：对$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n + 1}}$

​+n+1

​1​进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}$

​−n

​，得到$\frac{\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n + 1}+\sqrt{n})(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n})}=\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}$

​+n

​)(n+1

​−n

​)n+1

​−n

​​=n+1

​−n

​。

例如：$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-\sqrt{1}$

​+2

​1​=2

​−1

​；$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

​+3

​1​=3

​−2

​ 。

 

整数裂项

相邻两项乘积形式

通项公式：$n(n + 1)=\frac{1}{3}[n(n + 1)(n + 2)-(n - 1)n(n + 1)]$

例如：当$n = 1$时，$1×2=\frac{1}{3}(1×2×3 - 0×1×2)$；当$n = 2$时，$2×3=\frac{1}{3}(2×3×4 - 1×2×3)$ 。

 

相邻三项乘积形式

通项公式：$n(n + 1)(n + 2)=\frac{1}{4}[n(n + 1)(n + 2)(n + 3)-(n - 1)n(n + 1)(n + 2)]$

例如：当$n = 1$时，$1×2×3=\frac{1}{4}(1×2×3×4 - 0×1×2×3)$ 。