求二次函数的最大值和最小值各用什么公式去了?

对于二次函数$y = ax^{2} + bx + c$（$a\neq0$），求其最大值或最小值可以通过以下两种常见方法：

顶点坐标公式法

二次函数的顶点式为$y=a(x - h)^{2}+k$，其顶点坐标为$(h,k)$ ，对于二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ ，通过配方法可转化为顶点式：

$$\begin{align*} y&=ax^{2}+bx + c\\ &=a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right)+c\\ &=a\left[x^{2}+2\times\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}\right]+c\\ &=a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} + c - \frac{b^{2}}{4a} \end{align*}$$

所以其顶点坐标为$\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a}\right)$。

当$a\gt0$时，二次函数图象开口向上，函数在顶点处取得最小值，即$y_{min}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$，无最大值。

当$a\lt0$时，二次函数图象开口向下，函数在顶点处取得最大值，即$y_{max}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$ ，无最小值。

利用对称轴结合单调性

二次函数$y = ax^{2} + bx + c$（$a\neq0$）的对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a}$。

当$a\gt0$时：

函数在对称轴左侧，即$x \lt -\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；

在对称轴右侧，即$x \gt -\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大。

所以当$x = -\frac{b}{2a}$时，函数取得最小值$y_{min}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$，无最大值。

当$a\lt0$时：

函数在对称轴左侧，即$x \lt -\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；

在对称轴右侧，即$x \gt -\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小。

所以当$x = -\frac{b}{2a}$时，函数取得最大值$y_{max}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$，无最小值。

如果二次函数的自变量$x$有取值范围限制（例如$m\leq x\leq n$ ），则需要分情况讨论对称轴$x = -\frac{b}{2a}$与区间$[m,n]$的位置关系，来确定函数在该区间内的最大值和最小值 。