三角形相似有哪些条件?有哪些结论?

三角形相似的条件

两角分别相等的两个三角形相似：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。例如，在△ABC 和△DEF 中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，则△ABC ∽△DEF。这是因为三角形内角和为 180°，当两个角对应相等时，第三个角也必然相等，三个角都对应相等的三角形形状相同，所以相似。

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似：若一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。比如，在△ABC 和△DEF 中，AB/DE = AC/DF ，且∠A = ∠D ，则△ABC ∽△DEF 。需要注意的是，这里的角必须是成比例两边的夹角，如果不是夹角，则不能判定两个三角形相似。

三边成比例的两个三角形相似：当一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例时，这两个三角形相似。即，在△ABC 和△DEF 中，AB/DE = BC/EF = AC/DF ，则△ABC ∽△DEF 。通过三边比例关系可以直接判断两个三角形是否相似，无需考虑角的关系。

三角形相似的结论

对应角相等：相似三角形的对应角大小完全相等。例如△ABC ∽△DEF ，那么∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F 。

对应边成比例：相似三角形对应边的长度之比是一个定值，这个定值称为相似比。若△ABC ∽△DEF ，相似比为 k ，则 AB/DE = BC/EF = AC/DF = k 。

对应线段的比等于相似比：这里的对应线段包括对应高、对应中线、对应角平分线等。比如，△ABC ∽△DEF ，相似比为 k ，AM 是△ABC 的高，DN 是△DEF 的高，则 AM/DN = k 。也就是说相似三角形对应高的比等于相似比，同理对应中线、对应角平分线的比也都等于相似比。

周长比等于相似比：如果△ABC ∽△DEF ，相似比为 k ，设△ABC 的周长为 $C_1 = AB + BC + AC$ ，△DEF 的周长为 $C_2 = DE + EF + DF$ ，由于 AB/DE = BC/EF = AC/DF = k ，所以 $C_1/C_2 = k$ ，即相似三角形周长的比等于相似比。

面积比等于相似比的平方：假设△ABC ∽△DEF ，相似比为 k ，△ABC 的面积为 $S_1$ ，△DEF 的面积为 $S_2$ 。根据三角形面积公式 $S = \frac{1}{2}ah$（a 为底，h 为高），以及对应高的比等于相似比，可得 $S_1/S_2 = k^2$ 。