三角形重心公式

定义：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

重心坐标公式：

对于平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$，则该三角形重心$G$的坐标为$(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$。

推导过程：

设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$，$BC$边中点$D$的坐标为$(\frac{x_2 + x_3}{2},\frac{y_2 + y_3}{2})$。

根据定比分点坐标公式，若有两点$P(x_4,y_4)$，$Q(x_5,y_5)$，点$M$分线段$PQ$的比为$\lambda$，则$M$点坐标为$(\frac{x_4+\lambda x_5}{1 + \lambda},\frac{y_4+\lambda y_5}{1 + \lambda})$。

因为重心$G$分中线$AD$的比为$2:1$（这是三角形重心的性质，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为$2:1$ ）。

那么对于$A(x_1,y_1)$和$D(\frac{x_2 + x_3}{2},\frac{y_2 + y_3}{2})$，设重心$G$坐标为$(x_G,y_G)$。

由定比分点坐标公式可得：

$x_G=\frac{x_1 + 2\times\frac{x_2 + x_3}{2}}{1 + 2}=\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$；

$y_G=\frac{y_1 + 2\times\frac{y_2 + y_3}{2}}{1 + 2}=\frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$。

所以三角形重心$G$的坐标为$(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ 。