双曲线的弦长公式怎么推的啊?

设直线与双曲线方程

设直线$l$的方程为$y = kx + m$，双曲线方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt0,b\gt0$）。

将直线方程$y = kx + m$代入双曲线方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，得到：

$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{(kx + m)^{2}}{b^{2}} = 1$。

对上式进行整理：

首先展开$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{k^{2}x^{2}+2kmx + m^{2}}{b^{2}} = 1$。

通分得到$b^{2}x^{2}-a^{2}(k^{2}x^{2}+2kmx + m^{2}) = a^{2}b^{2}$。

进一步展开为$b^{2}x^{2}-a^{2}k^{2}x^{2}-2a^{2}kmx - a^{2}m^{2}-a^{2}b^{2}=0$。

合并同类项得$(b^{2}-a^{2}k^{2})x^{2}-2a^{2}kmx - a^{2}(m^{2}+b^{2}) = 0$。

 

 

设直线与双曲线的交点为$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$。

若$b^{2}-a^{2}k^{2}\neq0$，由韦达定理可得$x_{1}+x_{2}=\frac{2a^{2}km}{b^{2}-a^{2}k^{2}}$，$x_{1}x_{2}=\frac{-a^{2}(m^{2}+b^{2})}{b^{2}-a^{2}k^{2}}$。

 

推导弦长公式

由两点间距离公式，弦长$\vert AB\vert=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$

​。

因为$y_{1}=kx_{1}+m$，$y_{2}=kx_{2}+m$，所以$y_{1}-y_{2}=k(x_{1}-x_{2})$。

则$\vert AB\vert=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(k(x_{1}-x_{2}))^{2}}=\sqrt{(1 + k^{2})(x_{1}-x_{2})^{2}}$

​=(1+k2)(x1​−x2​)2

​。

又$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}$。

把$x_{1}+x_{2}=\frac{2a^{2}km}{b^{2}-a^{2}k^{2}}$，$x_{1}x_{2}=\frac{-a^{2}(m^{2}+b^{2})}{b^{2}-a^{2}k^{2}}$代入$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}$可得：

$(x_{1}-x_{2})^{2}=(\frac{2a^{2}km}{b^{2}-a^{2}k^{2}})^{2}+\frac{4a^{2}(m^{2}+b^{2})}{b^{2}-a^{2}k^{2}}$。

 

所以弦长$\vert AB\vert=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(\frac{2a^{2}km}{b^{2}-a^{2}k^{2}})^{2}+\frac{4a^{2}(m^{2}+b^{2})}{b^{2}-a^{2}k^{2}}}$

​⋅(x1​+x2​)2−4x1​x2​

​=1+k2

​⋅(b2−a2k22a2km​)2+b2−a2k24a2(m2+b2)​

​ 。

 

当直线斜率不存在时，设直线方程为$x = x_{0}$，代入双曲线方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，可得$y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{x_{0}^{2}-a^{2}}$

​，此时弦长$\vert AB\vert=\frac{2b}{a}\sqrt{x_{0}^{2}-a^{2}}$

​。