三角形外接圆的所有公式

以下为你介绍三角形外接圆相关的重要公式：

外接圆半径公式

正弦定理求半径公式

对于任意三角形$ABC$ ，三边分别为$a$、$b$、$c$ ，其外接圆半径为$R$ ，正弦定理表达式为$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}= 2R$。

由此可得求外接圆半径的公式：$R = \frac{a}{2\sin A}=\frac{b}{2\sin B}=\frac{c}{2\sin C}$。此公式适用于已知三角形的一边及该边所对的角，进而求出外接圆半径。例如，已知$\triangle ABC$ 中，$a = 3$ ，$\angle A = 60^{\circ}$ ，则根据$R = \frac{a}{2\sin A}$ ，$\sin A=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

​​ ，可得$R = \frac{3}{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{3}$

​​3​=3

​ 。

利用三角形面积公式推导的半径公式

三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B$ ，又因为$S=\frac{abc}{4R}$（这是由正弦定理和三角形面积公式推导得出）。

由此可推出求外接圆半径公式$R=\frac{abc}{4S}$ ，其中$S$为三角形的面积。如果已知三角形三边长度$a$、$b$、$c$ ，可以先通过海伦公式$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

​（$p=\frac{a + b + c}{2}$ ，半周长）求出面积$S$ ，再代入$R=\frac{abc}{4S}$计算外接圆半径$R$ 。

圆心坐标公式（在平面直角坐标系中）

已知三角形三个顶点坐标$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$

首先求线段$AB$的垂直平分线方程。$AB$中点坐标为$(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})$ ，$AB$的斜率$k_{AB}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ ，则$AB$垂直平分线的斜率$k_1 = -\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$（两垂直直线斜率之积为$-1$）。

根据点斜式可得$AB$垂直平分线方程为$y-\frac{y_1 + y_2}{2}=-\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}(x - \frac{x_1 + x_2}{2})$ 。

同理求线段$BC$的垂直平分线方程。$BC$中点坐标为$(\frac{x_2 + x_3}{2},\frac{y_2 + y_3}{2})$ ，$BC$的斜率$k_{BC}=\frac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2}$ ，则$BC$垂直平分线的斜率$k_2 = -\frac{x_3 - x_2}{y_3 - y_2}$ ，其垂直平分线方程为$y-\frac{y_2 + y_3}{2}=-\frac{x_3 - x_2}{y_3 - y_2}(x - \frac{x_2 + x_3}{2})$ 。

联立这两个垂直平分线方程求解，所得的解$(x_0,y_0)$就是三角形外接圆的圆心坐标。