怎么计算矩阵的秩

计算矩阵的秩通常有以下几种常见方法：

定义法

原理：矩阵 $A$ 中不为零的子式的最高阶数称为矩阵 $A$ 的秩，记作 $r(A)$。所谓 $k$ 阶子式，是指在矩阵 $A$ 中任取 $k$ 行 $k$ 列 $(k\leqslant \min\{m,n\}$，设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵$)$，位于这些行列交叉处的 $k^2$ 个元素，按原位置次序构成的 $k$ 阶行列式。

步骤：

从一阶子式开始，逐一计算矩阵 $A$ 的各阶子式的值。

找到一个不为零的 $r$ 阶子式，并且所有 $r + 1$ 阶子式（如果存在）的值都为零，则矩阵 $A$ 的秩 $r(A)=r$。

 

示例：对于矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&0\end{pmatrix}$

​100​240​350​

​，一阶子式如 $\begin{vmatrix}1\end{vmatrix}=1\neq0$

​1​

​=1=0，二阶子式 $\begin{vmatrix}1&2\\0&4\end{vmatrix}=4\neq0$

​10​24​

​=4=0，而三阶子式只有 $\begin{vmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&0\end{vmatrix}=0$

​100​240​350​

​=0，所以 $r(A) = 2$。

初等行变换法

原理：矩阵经初等行变换后，其秩不变。将矩阵通过初等行变换化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原矩阵的秩。

步骤：

对给定矩阵 $A$ 进行初等行变换，初等行变换包括：交换两行（记为 $r_i\leftrightarrow r_j$）；以非零常数 $k$ 乘某一行的所有元素（记为 $kr_i$）；把某一行所有元素的 $k$ 倍加到另一行的对应元素上去（记为 $r_i + kr_j$）。

将矩阵 $A$ 化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵的特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数。

统计行阶梯形矩阵中非零行的行数，这个行数就是矩阵 $A$ 的秩。

 

示例：设矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&4&6&8\\1&3&4&7\end{pmatrix}$

​121​243​364​487​

​

第一步，$r_2 - 2r_1$，$r_3 - r_1$ 得到 $\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&0&0&0\\0&1&1&3\end{pmatrix}$

​100​201​301​403​

​

第二步，交换 $r_2$ 与 $r_3$，得到行阶梯形矩阵 $\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&1&1&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}$

​100​210​310​430​

​

此矩阵非零行有 $2$ 行，所以 $r(A)=2$

 

利用矩阵的性质计算

原理：利用一些矩阵运算和秩的关系性质来间接求出矩阵的秩。例如：

$r(A^T)=r(A)$，即矩阵 $A$ 的转置矩阵的秩等于 $A$ 的秩。

若 $P$，$Q$ 是可逆矩阵，则 $r(PAQ)=r(A)$。

$r(A + B)\leqslant r(A)+r(B)$

$r(AB)\leqslant \min\{r(A),r(B)\}$

 

步骤：观察矩阵的特点，看是否能通过已知性质将其转化为更容易计算秩的形式。

示例：已知 $A$ 是 $3\times 4$ 矩阵，且 $r(A)=2$，$P$ 是 $3\times 3$ 可逆矩阵，$Q$ 是 $4\times 4$ 可逆矩阵，求 $r(PAQ)$。

根据性质 $r(PAQ)=r(A)$，所以 $r(PAQ)=2$ 。