三角函数和差角公式

三角函数和差角公式是用于计算两个角的和或差的三角函数值的一组重要公式，具体如下：

正弦函数的和差角公式

$\sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

记忆方法：可以通过“正余余正，符号相同”来记忆。即等号左边是$\sin(\alpha + \beta)$ ，右边是两项相加，第一项是$\sin\alpha$与$\cos\beta$相乘（正余），第二项是$\cos\alpha$与$\sin\beta$相乘（余正），中间符号与左边括号内$\alpha$与$\beta$之间的符号相同。

应用示例：已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\cos\beta=\frac{4}{5}$，$\alpha$、$\beta$均为锐角，求$\sin(\alpha + \beta)$的值。首先求出$\cos\alpha = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}$

​=54​ ，$\sin\beta = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2}=\frac{3}{5}$

​=53​ ，然后根据公式$\sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta=\frac{3}{5}×\frac{4}{5}+\frac{4}{5}×\frac{3}{5}=\frac{24}{25}$ 。

 

$\sin(\alpha - \beta)=\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

记忆方法：同样是“正余余正，符号相反” ，右边两项相减，符号与左边括号内$\alpha$与$\beta$之间的符号相反。

应用示例：若$\sin\alpha = \frac{1}{2}$ ，$\cos\beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

​​ ，$\alpha = 30^{\circ}$ ，$\beta = 60^{\circ}$ ，则$\sin(\alpha - \beta)=\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2}=0$

​​−23

​​×21​=0 。

 

余弦函数的和差角公式

$\cos(\alpha + \beta)=\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

记忆方法：“余余正正，符号相反” ，等号左边是$\cos(\alpha + \beta)$ ，右边两项，第一项是$\cos\alpha$与$\cos\beta$相乘（余余），第二项是$\sin\alpha$与$\sin\beta$相乘（正正），中间符号与左边括号内$\alpha$与$\beta$之间的符号相反。

应用示例：已知$\cos\alpha = \frac{1}{3}$ ，$\sin\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

​​ ，$\cos\beta = \frac{1}{2}$ ，$\sin\beta=\frac{\sqrt{3}}{2}$

​​ ，求$\cos(\alpha + \beta)$ 。根据公式$\cos(\alpha + \beta)=\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1 - 2\sqrt{6}}{6}$

​​×23

​​=61−26

​​ 。

 

$\cos(\alpha - \beta)=\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

记忆方法：“余余正正，符号相同” ，右边两项相加，符号与左边括号内$\alpha$与$\beta$之间的符号相同。

应用示例：当$\alpha = 45^{\circ}$ ，$\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$

​​ ，$\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$

​​ ，$\beta = 30^{\circ}$ ，$\cos\beta=\frac{\sqrt{3}}{2}$

​​ ，$\sin\beta=\frac{1}{2}$ 时，$\cos(\alpha - \beta)=\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

​​×23

​​+22

​​×21​=46

​+2

​​ 。

 

正切函数的和差角公式

$\tan(\alpha + \beta)=\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$

记忆方法：分子是$\tan\alpha$与$\tan\beta$的和，分母是$1$减去$\tan\alpha$与$\tan\beta$的乘积，符号规律是“分子同号，分母异号”（这里同号指与$\tan(\alpha + \beta)$ 中$\alpha$与$\beta$之间符号相同，异号则相反）。需注意$\alpha$，$\beta$，$\alpha + \beta\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z$ ，否则正切函数无意义。

应用示例：已知$\tan\alpha = 2$ ，$\tan\beta = 3$ ，求$\tan(\alpha + \beta)$ 。直接代入公式$\tan(\alpha + \beta)=\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}=\frac{2 + 3}{1 - 2×3}=-1$ 。

 

$\tan(\alpha - \beta)=\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$

记忆方法：分子是$\tan\alpha$与$\tan\beta$的差，分母是$1$加上$\tan\alpha$与$\tan\beta$的乘积，符号规律与和角公式相对应。同样$\alpha$，$\beta$，\(\alpha - \beta\neq k\pi+\frac{\pi}{2},