sinx的导数是多少,怎么计算

$\sin x$的导数是$\cos x$，下面用导数的定义来进行计算。

导数的定义为：函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$。

对于函数$y = \sin x$，其导数$y^\prime=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}$。

根据三角函数两角和公式$\sin(A + B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$，则$\sin(x+\Delta x)=\sin x\cos\Delta x+\cos x\sin\Delta x$。

那么$\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}=\frac{\sin x\cos\Delta x+\cos x\sin\Delta x - \sin x}{\Delta x}$
$=\frac{\sin x(\cos\Delta x - 1)+\cos x\sin\Delta x}{\Delta x}$
$=\sin x\cdot\frac{\cos\Delta x - 1}{\Delta x}+\cos x\cdot\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}$。

接下来分别求两个极限：

求$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\cos\Delta x - 1}{\Delta x}$的值：

利用$\cos\Delta x = 1 - 2\sin^{2}\frac{\Delta x}{2}$进行替换，则$\frac{\cos\Delta x - 1}{\Delta x}=\frac{1 - 2\sin^{2}\frac{\Delta x}{2}-1}{\Delta x}=-\frac{2\sin^{2}\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}$

$=-\frac{\sin^{2}\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}=-\sin\frac{\Delta x}{2}\cdot\frac{\sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}$。

当$\Delta x \to 0$时，$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\sin\frac{\Delta x}{2}=0$，且$\lim\limits_{\alpha \to 0}\frac{\sin\alpha}{\alpha}=1$（这里$\alpha=\frac{\Delta x}{2}$），所以$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\cos\Delta x - 1}{\Delta x}=0$ 。

求$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}$的值：

根据重要极限$\lim\limits_{\alpha \to 0}\frac{\sin\alpha}{\alpha}=1$（这里$\alpha = \Delta x$），所以$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}=1$。

最后求$y^\prime$：
$y^\prime=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\left(\sin x\cdot\frac{\cos\Delta x - 1}{\Delta x}+\cos x\cdot\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\right)$
$=\sin x\cdot\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\cos\Delta x - 1}{\Delta x}+\cos x\cdot\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}$
$=\sin x\times0+\cos x\times1=\cos x$。

综上，$\sin x$的导数是$\cos x$。