两角差的余弦公式的推导过程

两角差的余弦公式为$\cos(\alpha - \beta)=\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$，以下为你介绍常见的三种推导方法：

1. 利用单位圆和向量的数量积推导

在平面直角坐标系$xOy$中，以原点$O$为圆心作单位圆。设角$\alpha$，$\beta$的终边与单位圆分别交于点$P_1(\cos\alpha,\sin\alpha)$，$P_2(\cos\beta,\sin\beta)$。
则向量$\overrightarrow{OP_1}=(\cos\alpha,\sin\alpha)$

​=(cosα,sinα)，向量$\overrightarrow{OP_2}=(\cos\beta,\sin\beta)$

​=(cosβ,sinβ)。
根据向量数量积的定义，$\overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_2}=\vert\overrightarrow{OP_1}\vert\vert\overrightarrow{OP_2}\vert\cos(\alpha - \beta)$

​⋅OP2​

​=∣OP1​

​∣∣OP2​

​∣cos(α−β)。
因为单位圆半径为$1$，所以$\vert\overrightarrow{OP_1}\vert = \vert\overrightarrow{OP_2}\vert = 1$

​∣=∣OP2​

​∣=1，那么$\overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_2}=\cos(\alpha - \beta)$

​⋅OP2​

​=cos(α−β)。
又根据向量数量积的坐标运算，$\overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_2}=\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

​⋅OP2​

​=cosαcosβ+sinαsinβ。
所以$\cos(\alpha - \beta)=\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$。

2. 利用三角函数线推导

在平面直角坐标系中，作单位圆$O$。设$\alpha$，$\beta$为任意角，且$\alpha > \beta$。
角$\alpha$的终边与单位圆交于点$P_1$，过$P_1$作$x$轴的垂线，垂足为$M_1$，得到角$\alpha$的正弦线$M_1P_1$和余弦线$OM_1$。
角$\beta$的终边与单位圆交于点$P_2$，过$P_2$作$x$轴的垂线，垂足为$M_2$，得到角$\beta$的正弦线$M_2P_2$和余弦线$OM_2$。
将角$\beta$的终边绕原点旋转到与角$\alpha$的终边重合，此时角$\beta$旋转了$(\alpha - \beta)$。
过点$P_2$作$P_1M_1$的垂线，垂足为$A$，再过点$A$作$x$轴的垂线，垂足为$B$。
则$\cos(\alpha - \beta)=OM$（$M$为$P_1$在$x$轴上的投影）。
通过几何关系可知：
$OM = OB + BM$
$OB = OM_2\cos\alpha = \cos\beta\cos\alpha$
$BM = M_2P_2\sin\alpha = \sin\beta\sin\alpha$
所以$\cos(\alpha - \beta)=\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$。

3. 利用两角和的余弦公式及诱导公式推导

已知$\cos(A + B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$。
令$A=\alpha$，$B = -\beta$，则：
$\cos(\alpha + (-\beta))=\cos\alpha\cos(-\beta)-\sin\alpha\sin(-\beta)$
根据诱导公式$\cos(-\theta)=\cos\theta$，$\sin(-\theta)=-\sin\theta$，可得：
$\cos(\alpha - \beta)=\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha(-\sin\beta)=\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$ 。