secx的导数

首先回顾$\sec x$的定义：

$\sec x=\frac{1}{\cos x}$。

然后根据除法求导公式$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^{2}}$来求$\sec x$的导数，这里$u = 1$，$v=\cos x$。

先求$u^\prime$和$v^\prime$：

因为常数的导数为$0$，所以$u^\prime=(1)^\prime = 0$；

而$(\cos x)^\prime=-\sin x$。

接着代入除法求导公式：

$(\sec x)^\prime = (\frac{1}{\cos x})^\prime=\frac{(1)^\prime\cos x - 1\times(\cos x)^\prime}{\cos^{2}x}$。

把$(1)^\prime = 0$，$(\cos x)^\prime = -\sin x$代入上式可得：

$\frac{0\times\cos x - 1\times(-\sin x)}{\cos^{2}x}=\frac{\sin x}{\cos^{2}x}$。

又因为$\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$，$\frac{1}{\cos x}=\sec x$，所以$\frac{\sin x}{\cos^{2}x}=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{1}{\cos x}=\tan x\sec x$。

综上，$\sec x$的导数是$\sec x\tan x$ 。