椭圆的第二定义公式

椭圆的第二定义：平面内与一个定点 $F$ 和一条定直线 $l$（$F\notin l$）的距离之比为常数 $e$（$0\lt e\lt1$）的点的轨迹叫做椭圆。其中，定点 $F$ 称为椭圆的一个焦点，定直线 $l$ 称为椭圆相应于焦点 $F$ 的准线，常数 $e$ 称为椭圆的离心率。

设椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt b\gt0$），焦点 $F(c,0)$，相应的准线方程是 $x=\frac{a^{2}}{c}$ ；若焦点为 $F(-c,0)$， 相应的准线方程是 $x = -\frac{a^{2}}{c}$。

对于椭圆上任意一点 $M(x,y)$ ，根据第二定义有：$\frac{\vert MF\vert}{d}=e$（$0\lt e\lt1$），其中 $\vert MF\vert$ 表示点 $M$ 到焦点 $F$ 的距离，$d$ 表示点 $M$ 到相应准线的距离。

以焦点 $F(c,0)$ 及准线 $x=\frac{a^{2}}{c}$ 为例，$\vert MF\vert=\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}$

​，点 $M(x,y)$ 到准线 $x=\frac{a^{2}}{c}$ 的距离 $d=\vert x-\frac{a^{2}}{c}\vert$ ，则 $\frac{\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}}{\vert x-\frac{a^{2}}{c}\vert}=e$

​​=e 。

同理对于焦点在 $y$ 轴上的椭圆 $\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt b\gt0$），焦点 $F(0,c)$ ，相应准线方程是 $y=\frac{a^{2}}{c}$ ；焦点 $F(0, - c)$ ，相应准线方程是 $y = -\frac{a^{2}}{c}$ ，也满足上述类似的距离比例关系 $\frac{\vert MF\vert}{d}=e$（$0\lt e\lt1$） 。