点到直线的距离公式是什么

点$(x_0,y_0)$到直线$Ax + By + C = 0$（$A$、$B$不同时为$0$ ）的距离公式为：$d = \frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$

​∣Ax0​+By0​+C∣​。

下面为你简单说明其推导过程：
设点$P(x_0,y_0)$，直线$l:Ax + By + C = 0$。过点$P$作直线$l$的垂线，垂足为$Q$。

先求直线$PQ$的斜率：直线$l$的斜率$k = -\frac{A}{B}$（$B\neq0$ ），根据两垂直直线斜率之积为$-1$，可得直线$PQ$的斜率为$\frac{B}{A}$（$A\neq0$ ）。

写出直线$PQ$的方程：由点斜式可得直线$PQ$的方程为$y - y_0 = \frac{B}{A}(x - x_0)$，即$Bx - Ay + Ay_0 - Bx_0 = 0$。

联立直线$l$与直线$PQ$的方程求垂足$Q$的坐标：

联立$\begin{cases}Ax + By + C = 0\\Bx - Ay + Ay_0 - Bx_0 = 0\end{cases}$，解方程组求出交点$Q$的坐标（过程较为复杂，此处省略详细求解步骤）。

利用两点间距离公式求$\vert PQ\vert$：已知$P(x_0,y_0)$和求出的$Q$点坐标，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$

​，经过一系列化简（包含较多代数运算）最终可得到点$P(x_0,y_0)$到直线$Ax + By + C = 0$ 的距离公式$d = \frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$

​∣Ax0​+By0​+C∣​ 。

当$A = 0$或$B = 0$时，该公式依然成立，可以单独验证。例如当$A = 0$时，直线方程变为$By + C = 0$即$y = -\frac{C}{B}$ ，此时点$(x_0,y_0)$到直线的距离就是$\vert y_0 - (-\frac{C}{B})\vert = \frac{\vert By_0 + C\vert}{\vert B\vert}=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$

​∣Ax0​+By0​+C∣​（因为$A = 0$ ） 。