三角函数积分公式大全

以下是一些常见的三角函数积分公式：

基本积分公式

$\int \sin xdx = -\cos x + C$

$\int \cos xdx = \sin x + C$

$\int \tan xdx = \ln|\sec x| + C = -\ln|\cos x| + C$

$\int \cot xdx = \ln|\sin x| + C$

$\int \sec xdx = \ln|\sec x + \tan x| + C$

$\int \csc xdx = \ln|\csc x - \cot x| + C = -\ln|\csc x + \cot x| + C$

幂次积分公式

$\int \sin^{n}x dx = -\frac{1}{n}\sin^{n - 1}x\cos x+\frac{n - 1}{n}\int \sin^{n - 2}x dx$（$n\in N^+$）

当$n = 2$时，$\int \sin^{2}x dx=\int\frac{1 - \cos2x}{2}dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+C$

$\int \cos^{n}x dx = \frac{1}{n}\cos^{n - 1}x\sin x+\frac{n - 1}{n}\int \cos^{n - 2}x dx$（$n\in N^+$）

当$n = 2$时，$\int \cos^{2}x dx=\int\frac{1 + \cos2x}{2}dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin2x}{4}+C$

$\int \tan^{n}x dx = \frac{\tan^{n - 1}x}{n - 1}-\int \tan^{n - 2}x dx$（$n\neq1$）

$\int \cot^{n}x dx = -\frac{\cot^{n - 1}x}{n - 1}-\int \cot^{n - 2}x dx$（$n\neq1$）

$\int \sec^{n}x dx = \frac{\sec^{n - 2}x\tan x}{n - 1}+\frac{n - 2}{n - 1}\int \sec^{n - 2}x dx$（$n\neq1$）

$\int \csc^{n}x dx = -\frac{\csc^{n - 2}x\cot x}{n - 1}+\frac{n - 2}{n - 1}\int \csc^{n - 2}x dx$（$n\neq1$）

乘积形式积分公式

$\int \sin Ax\cos Bx dx = -\frac{\cos(A + B)x}{2(A + B)}-\frac{\cos(A - B)x}{2(A - B)}+C$（$A\neq\pm B$）

$\int \sin Ax\sin Bx dx = \frac{\sin(A - B)x}{2(A - B)}-\frac{\sin(A + B)x}{2(A + B)}+C$（$A\neq\pm B$）

$\int \cos Ax\cos Bx dx = \frac{\sin(A + B)x}{2(A + B)}+\frac{\sin(A - B)x}{2(A - B)}+C$（$A\neq\pm B$）

其他常见积分公式

$\int\frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a}) + C$（$a\neq0$）

特别地，当$a = 1$时，$\int\frac{1}{1 + x^{2}}dx=\arctan x + C$

$\int\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx=\arcsin(\frac{x}{a})+C$

​1​dx=arcsin(ax​)+C（$a > 0$）

$\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}}dx=\ln|x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}| + C$

​1​dx=ln∣x+x2±a2

​∣+C （$a>0$）

这些公式在求解各种涉及三角函数的积分问题时非常有用，在实际运用中可能需要根据具体情况灵活选择和变形。其中 $C$ 为积分常数。