向量垂直的充要条件

设两个非零向量$\vec{a}=(x_1,y_1)$

=(x1​,y1​)，$\vec{b}=(x_2,y_2)$

=(x2​,y2​)，那么向量垂直有以下充要条件：

向量点积为零

从向量的数量积（点积）角度来看，$\vec{a}\perp\vec{b}$

⊥b

的充要条件是$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

⋅b

=0。

根据向量数量积的坐标运算公式$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2 + y_1y_2$

⋅b

=x1​x2​+y1​y2​ ，所以当$\vec{a}\perp\vec{b}$

⊥b

时，$x_1x_2 + y_1y_2 = 0$ ；反之，若$x_1x_2 + y_1y_2 = 0$ ，则$\vec{a}\perp\vec{b}$

⊥b

。

例如，已知$\vec{a}=(2,3)$

=(2,3)，$\vec{b}=( - 3,2)$

=(−3,2)，计算$\vec{a}\cdot\vec{b}=2\times(-3)+3\times2=-6 + 6 = 0$

⋅b

=2×(−3)+3×2=−6+6=0，所以$\vec{a}\perp\vec{b}$

⊥b

。

向量对应坐标交叉相乘之和为零（二维向量情况的另一种表述）

对于二维平面向量，若$\vec{a}=(x_1,y_1)$

=(x1​,y1​)，$\vec{b}=(x_2,y_2)$

=(x2​,y2​)，$\vec{a}\perp\vec{b}$

⊥b

等价于$x_1y_2 - x_2y_1 = 0$。这其实是由$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2 + y_1y_2 = 0$

⋅b

=x1​x2​+y1​y2​=0推导而来的一种便于记忆和计算的形式（常用于快速判断二维向量是否垂直）。

拓展到空间向量

若空间中有向量$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$

=(x1​,y1​,z1​)，$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$

=(x2​,y2​,z2​) ，$\vec{a}\perp\vec{b}$

⊥b

的充要条件依然是$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

⋅b

=0，即$x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$。

如果涉及零向量，规定零向量与任意向量垂直。也就是说，对于任意向量$\vec{a}$

，都有$\vec{0}\cdot\vec{a}=0$

⋅a

=0 ，满足向量垂直的充要条件。