弦长公式

弦长公式是计算直线与曲线相交所得弦长的公式，在不同情境下有不同形式：

1. 平面解析几何中，直线与圆锥曲线相交时

设直线方程为 $y = kx + b$，它与圆锥曲线（如椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$、双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$、抛物线$y^{2}=2px$等）相交于两点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$。
首先联立直线与圆锥曲线方程，消去 $y$（也可消去 $x$）后得到关于 $x$ 的一元二次方程 $Ax^{2} + Bx + C = 0$（$A\neq0$），由韦达定理可得 $x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}$，$x_1x_2 = \frac{C}{A}$。
弦长$\vert AB \vert$的计算公式为：
$\vert AB \vert=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_1 + x_2)^{2} - 4x_1x_2}$

​⋅(x1​+x2​)2−4x1​x2​

​
这是因为由两点间距离公式$\vert AB \vert = \sqrt{(x_1 - x_2)^{2} + (y_1 - y_2)^{2}}$

​，又因为$y_1 - y_2 = k(x_1 - x_2)$，所以$\vert AB \vert=\sqrt{(x_1 - x_2)^{2} + [k(x_1 - x_2)]^{2}}=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_1 - x_2)^{2}}=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_1 + x_2)^{2} - 4x_1x_2}$

​=1+k2

​⋅(x1​−x2​)2

​=1+k2

​⋅(x1​+x2​)2−4x1​x2​

​

如果消去 $x$ 得到关于 $y$ 的一元二次方程 $Ay^{2} + By + C = 0$（$A\neq0$） ，设两根为 $y_1$，$y_2$，此时弦长公式为 $\vert AB \vert=\sqrt{1+\frac{1}{k^{2}}}\cdot\sqrt{(y_1 + y_2)^{2} - 4y_1y_2}$

​⋅(y1​+y2​)2−4y1​y2​

​（$k\neq0$），推导原理与上述类似。

2. 在圆的相关计算中

已知圆的半径为 $R$，圆心到直线的距离为 $d$，弦长 $l$ 的计算公式为 $l = 2\sqrt{R^{2}-d^{2}}$

​
这个公式是基于垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，利用勾股定理推导而来。即弦长的一半、圆心到直线的距离与圆的半径构成直角三角形，圆半径为斜边 。