求反三角函数公式.以及与三角函数的转换公式.谢谢

反三角函数公式

反正弦函数

定义：$y = \arcsin x$，其中$x\in[-1,1]$，$y\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$。它表示正弦值为$x$的角，例如$\sin y = x$。

性质：

$\arcsin(-x)=-\arcsin x$，例如$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin\frac{1}{2}=-\frac{\pi}{6}$

 

 

反余弦函数

定义：$y=\arccos x$，$x\in[-1,1]$，$y\in[0,\pi]$，即$\cos y = x$。

性质：

$\arccos(-x)=\pi - \arccos x$，比如$\arccos(-\frac{1}{2})=\pi-\arccos\frac{1}{2}=\pi - \frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$

 

 

反正切函数

定义：$y = \arctan x$，$x\in R$ ，$y\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，也就是$\tan y = x$。

性质：

$\arctan(-x)=-\arctan x$，例如$\arctan(-1)=-\arctan1 = -\frac{\pi}{4}$

$\arctan x+\arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}(x\gt0)$；$\arctan x+\arctan\frac{1}{x}=-\frac{\pi}{2}(x\lt0)$

 

 

反余切函数

定义：$y = \text{arccot}x$，$x\in R$，$y\in(0,\pi)$，即$\cot y = x$。

性质：

$\text{arccot}(-x)=\pi-\text{arccot}x$

 

 

反三角函数与三角函数的转换公式

正弦与反正弦

$\sin(\arcsin x)=x$，$x\in[-1,1]$

$\arcsin(\sin x)=x$，$x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$。当$x$不在$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$时，需要利用三角函数的周期性和诱导公式进行转化。例如$\sin x = a$，若$x\in[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$，令$x'=\pi - x$，$x'\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，$\sin x=\sin(\pi - x')=\sin x' = a$，则$\arcsin a = x'$。

 

余弦与反余弦

$\cos(\arccos x)=x$，$x\in[-1,1]$

$\arccos(\cos x)=x$，$x\in[0,\pi]$。若$x\notin[0,\pi]$，同样要根据三角函数性质转化。比如$x\in[\pi,2\pi]$，令$x' = 2\pi - x$，$x'\in[0,\pi]$，$\cos x=\cos(2\pi - x')=\cos x'$，则$\arccos(\cos x)=\arccos(\cos x') = x'$

 

正切与反正切

$\tan(\arctan x)=x$，$x\in R$

$\arctan(\tan x)=x$，$x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$。对于$x$不在此区间的情况，利用正切函数周期$\pi$来处理。例如$x\in(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})$，令$x'=x - \pi$，$x'\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，$\tan x=\tan(x - \pi)=\tan x'$，则$\arctan(\tan x)=\arctan(\tan x') = x'$