反函数公式

定义：
一般地，设函数$y = f(x)(x\in A)$的值域是$C$，若找得到一个函数$g(y)$在每一处$g(y)$都等于$x$，这样的函数$x = g(y)(y\in C)$叫做函数$y = f(x)(x\in A)$的反函数，记作$x = f^{-1}(y)$ 。习惯上用$x$表示自变量，用$y$表示因变量，所以反函数通常写成$y = f^{-1}(x)$。

求反函数的步骤：

步骤一：从原函数$y = f(x)$中解出$x$
例如对于函数$y = 2x + 1$，通过移项求解$x$，可得$x=\frac{y - 1}{2}$。

步骤二：互换$x$与$y$
将$x=\frac{y - 1}{2}$中的$x$与$y$互换，得到$y=\frac{x - 1}{2}$，这就是$y = 2x + 1$的反函数。

步骤三：确定反函数的定义域
反函数的定义域就是原函数的值域。对于$y = 2x + 1$，其值域是$R$，所以$y=\frac{x - 1}{2}$的定义域也是$R$。

一些常见函数类型的反函数公式示例：

一次函数：
对于一次函数$y = kx + b(k\neq0)$，先解出$x$：$x=\frac{y - b}{k}$，互换$x$与$y$后，反函数为$y=\frac{x - b}{k}$，其定义域和值域均为$R$。

指数函数与对数函数：

指数函数$y = a^{x}(a\gt0,a\neq1)$，解出$x$得$x=\log_{a}y$，互换$x$与$y$后，反函数是$y = \log_{a}x(a\gt0,a\neq1)$。指数函数$y = a^{x}$的值域是$(0,+\infty)$，所以其反函数$y = \log_{a}x$的定义域是$(0,+\infty)$。

例如$y = 2^{x}$的反函数是$y=\log_{2}x$，定义域为$(0,+\infty)$。

幂函数：
以$y = x^{3}$为例，解出$x$得$x = \sqrt[3]{y}$

​，互换$x$与$y$后，反函数为$y=\sqrt[3]{x}$

​，其定义域和值域均为$R$ 。

反函数的性质相关公式：

原函数$y = f(x)$与其反函数$y = f^{-1}(x)$的图像关于直线$y = x$对称。若点$(a,b)$在$y = f(x)$的图像上，则点$(b,a)$一定在$y = f^{-1}(x)$的图像上。

若$f(x)$在其定义域$A$上是单调函数，则其反函数$f^{-1}(x)$在其定义域（即$f(x)$的值域）上也是单调函数，且单调性相同。

$f\left(f^{-1}(x)\right)=x$（$x$在$f^{-1}(x)$的定义域内），$f^{-1}(f(x)) = x$（$x$在$f(x)$的定义域内）。例如对于$y = 2x + 1$及其反函数$y=\frac{x - 1}{2}$，有$f\left(f^{-1}(x)\right)=2\times\frac{x - 1}{2}+1=x - 1 + 1 = x$，$f^{-1}(f(x))=\frac{(2x + 1)-1}{2}=\frac{2x}{2}=x$ 。