扇形的计算公式

扇形是与圆形有关的一种重要图形，以下为其相关计算公式：

角度制下

弧长公式

设扇形的圆心角为$n^{\circ}$，半径为$r$，弧长为$l$。

则弧长$l=\frac{n\pi r}{180}$ 。推导过程：圆的周长公式为$C = 2\pi r$，整个圆的圆心角是$360^{\circ}$，扇形圆心角为$n^{\circ}$，那么扇形弧长占圆周长的比例为$\frac{n}{360}$，所以扇形弧长$l = \frac{n}{360}×2\pi r=\frac{n\pi r}{180}$。

面积公式

扇形面积$S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$ 。推导思路：圆的面积公式是$S_{圆}=\pi r^{2}$，由于扇形圆心角占整个圆的圆心角的比例为$\frac{n}{360}$，所以扇形面积$S=\frac{n}{360}×\pi r^{2}=\frac{n\pi r^{2}}{360}$。

另一个面积公式$S=\frac{1}{2}lr$（$l$为弧长，$r$为半径）。推导：把扇形近似看成一个三角形，这个三角形的底就是扇形的弧长$l$，高就是扇形的半径$r$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S=\frac{1}{2}lr$ 。

弧度制下

弧长公式

设扇形的圆心角为$\alpha$（弧度制），半径为$r$，弧长为$l$。

则弧长$l = \alpha r$。推导：因为$1$弧度的圆心角所对的弧长等于半径$r$，那么$\alpha$弧度的圆心角所对的弧长就是$\alpha$个半径的长度，即$l=\alpha r$。

面积公式

扇形面积$S=\frac{1}{2}\alpha r^{2}$ 。推导：由$S=\frac{1}{2}lr$（前面已推导），又因为$l = \alpha r$，将$l = \alpha r$代入$S=\frac{1}{2}lr$中，就得到$S=\frac{1}{2}\alpha r^{2}$ 。