请问笛卡尔乘积是什么?

笛卡尔乘积（Cartesian product）又称直积，是在数学领域中，两个集合相乘得到的新集合，得名于法国数学家勒内·笛卡尔。以下为你详细介绍：

定义

设 $A$ 和 $B$ 是两个集合，它们的笛卡尔乘积 $A×B$ 被定义为所有有序对 $(a, b)$ 的集合，其中 $a \in A$（表示 $a$ 是集合 $A$ 中的元素），$b \in B$（表示 $b$ 是集合 $B$ 中的元素）。符号表示为：$A×B = \{(a, b) | a \in A, b \in B\}$ 。

举例

假设集合 $A = \{1, 2\}$，集合 $B = \{a, b\}$。

对于集合 $A$ 中的元素 $1$，它可以与集合 $B$ 中的每一个元素组成有序对，即 $(1, a)$ 和 $(1, b)$。

集合 $A$ 中的元素 $2$ 同样可以与集合 $B$ 中的每一个元素组成有序对，即 $(2, a)$ 和 $(2, b)$。

那么 $A$ 和 $B$ 的笛卡尔乘积 $A×B = \{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)\}$。

拓展

笛卡尔乘积的概念可以推广到多个集合的情况。例如，对于三个集合 $A$、$B$、$C$，它们的笛卡尔乘积 $A×B×C$ 是所有有序三元组 $(a, b, c)$ 的集合，其中 $a \in A$，$b \in B$，$c \in C$，即 $A×B×C = \{(a, b, c) | a \in A, b \in B, c \in C\}$ 。

笛卡尔乘积在很多领域都有应用，如数据库理论中，笛卡尔乘积用于表之间的连接操作；在计算机科学的算法设计、编程语言语义等方面也经常会用到这个概念。