谁知道反三角函数的转换公式?

反三角函数的转换公式主要涉及不同反三角函数之间的相互转换以及与三角函数的关系，以下为您详细介绍：

反正弦函数与反余弦函数

$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$，$x\in[-1, 1]$

证明：设$\alpha = \arcsin x$，则$x = \sin\alpha$，且$\alpha\in[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。

因为$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha = x$，且$\frac{\pi}{2} - \alpha\in[0, \pi]$，所以$\arccos x = \frac{\pi}{2} - \alpha$，即$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$。

例如，当$x = \frac{1}{2}$时，$\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$，$\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$，$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$。

 

反正切函数与反余切函数

$\arctan x + \text{arccot} x = \frac{\pi}{2}$，$x\in R$

证明：设$\beta = \arctan x$，则$x = \tan\beta$，且$\beta\in(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$。

因为$\cot(\frac{\pi}{2} - \beta) = \tan\beta = x$，且$\frac{\pi}{2} - \beta\in(0, \pi)$，所以$\text{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \beta$ ，即$\arctan x + \text{arccot} x = \frac{\pi}{2}$。

例如，当$x = 1$时，$\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$，$\text{arccot} 1 = \frac{\pi}{4}$，$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$。

 

反正弦函数与反正切函数

$\arcsin x=\arctan\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

​x​，$x\in(-1, 1)$

证明：设$y = \arcsin x$，则$x = \sin y$，$y\in(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$。

根据三角函数关系$\tan y=\frac{\sin y}{\cos y}$，且$\cos y = \sqrt{1 - \sin^{2}y}=\sqrt{1 - x^{2}}$

​=1−x2

​（因为$y\in(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，$\cos y\gt0$），所以$\tan y=\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

​x​，则$y = \arctan\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

​x​，即$\arcsin x=\arctan\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

​x​。

例如，当$x=\frac{1}{2}$时，$\arcsin\frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}$，$\arctan\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 - (\frac{1}{2})^{2}}}=\arctan\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\arctan\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{6}$

​21​​=arctan23

​​21​​=arctan33

​​=6π​。

 

反余弦函数与反余切函数

$\arccos x = \text{arccot}\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

​x​，$x\in(-1, 1)$

证明：设$z = \arccos x$，则$x = \cos z$，$z\in(0, \pi)$。

因为$\cot z=\frac{\cos z}{\sin z}$，且$\sin z = \sqrt{1 - \cos^{2}z}=\sqrt{1 - x^{2}}$

​=1−x2

​（因为$z\in(0, \pi)$，$\sin z\gt0$），所以$\cot z=\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

​x​，则$z = \text{arccot}\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

​x​，即$\arccos x = \text{arccot}\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

​x​ 。

例如，当$x = \frac{1}{2}$时，$\arccos\frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}$，$\text{arccot}\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 - (\frac{1}{2})^{2}}}=\text{arccot}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\text{arccot}\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{3}$

​21​​=arccot23

​​21​​=arccot33

​​=3π​ 。