指数函数定义域,值域?

指数函数的一般形式为 $y = a^{x}$（$a > 0$且 $a\neq1$），以下是其定义域和值域的详细分析：

定义域

指数函数 $y = a^{x}$ 的定义域是全体实数，即 $x\in(-\infty, +\infty)$。这是因为对于任意实数 $x$，表达式 $a^{x}$ 都有意义。无论是正数、负数还是零，指数运算都能被合理定义。例如，当 $x = 0$ 时，$a^{0}=1$（$a\neq0$）；当 $x$ 是分数时，比如 $x = \frac{m}{n}$（$m,n$ 为整数，$n\neq0$），$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$

​；当 $x$ 是无理数时，$a^{x}$ 可以通过极限的方式来严格定义。所以 $x$ 可以取任意实数，指数函数的定义域为 $R$。

值域

当 $a > 1$ 时：

随着 $x$ 在实数范围内取值，当 $x\to -\infty$（$x$ 趋近于负无穷大）时，$a^{x}\to 0$，但永远不会等于 $0$；当 $x\to +\infty$（$x$ 趋近于正无穷大）时，$a^{x}\to +\infty$。

所以此时指数函数 $y = a^{x}$ 的值域是 $(0, +\infty)$。也就是说函数值恒大于 $0$，并且可以取到大于 $0$ 的任意实数。

当 $0 < a < 1$ 时：

当 $x\to -\infty$ 时，$a^{x}\to +\infty$；当 $x\to +\infty$ 时，$a^{x}\to 0$，同样永远不会等于 $0$。

其值域依然是 $(0, +\infty)$ 。

综上，指数函数 $y = a^{x}$（$a > 0$且 $a\neq1$）的定义域是 $R$，值域是 $(0, +\infty)$ 。