二倍角公式有哪些?【主要是高中学的】

高中阶段所学的二倍角公式主要包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式和正切二倍角公式，以下为详细介绍：

正弦二倍角公式

$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
这个公式表明，角$2\alpha$的正弦值等于角$\alpha$的正弦值与余弦值乘积的$2$倍。例如已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$ ，$\cos\alpha = \frac{4}{5}$，那么$\sin2\alpha = 2\times\frac{3}{5}\times\frac{4}{5}=\frac{24}{25}$ 。

余弦二倍角公式

$\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha = 2\cos^{2}\alpha - 1 = 1 - 2\sin^{2}\alpha$

$\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha$直接展示了二倍角的余弦与单角正弦、余弦的关系；

由$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$，将$\sin^{2}\alpha = 1 - \cos^{2}\alpha$代入$\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha$可得$\cos2\alpha = 2\cos^{2}\alpha - 1$；

把$\cos^{2}\alpha = 1 - \sin^{2}\alpha$代入$\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha$，则得到$\cos2\alpha = 1 - 2\sin^{2}\alpha$。

例如已知$\sin\alpha=\frac{1}{3}$，利用$\cos2\alpha = 1 - 2\sin^{2}\alpha$ ，可得$\cos2\alpha = 1 - 2\times(\frac{1}{3})^{2}=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$ 。

正切二倍角公式

$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha}$
此公式用于计算二倍角的正切值。例如已知$\tan\alpha = 2$，那么$\tan2\alpha=\frac{2\times2}{1 - 2^{2}}=\frac{4}{1 - 4}=-\frac{4}{3}$ 。

这些二倍角公式在三角函数的化简、求值、证明等方面都有广泛应用。